100 Problemas com José Paulo Viana
Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião fevereiro de 2016
Ah, os problemas!
Lembram-se do prazer que é encontrar um problema, daqueles que nos desafiam logo que o lemos, e depois avançar na resolução até conseguir descobrir a resposta?
Recordam-se da alegria que é descobrir a forma elegante e simples que alguém encontrou para resolver um problema que julgámos impossível ou que tanto trabalho nos deu?
E, finalmente, concordam que entusiasma discutir com outras pessoas a maneira de chegar à solução de um problema que nos intriga?
Pois é por estes três motivos que esta secção existe.
José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público
Ah, os problemas!
Lembram-se do prazer que é encontrar um problema, daqueles que nos desafiam logo que o lemos, e depois avançar na resolução até conseguir descobrir a resposta?
Recordam-se da alegria que é descobrir a forma elegante e simples que alguém encontrou para resolver um problema que julgámos impossível ou que tanto trabalho nos deu?
E, finalmente, concordam que entusiasma discutir com outras pessoas a maneira de chegar à solução de um problema que nos intriga?
Pois é por estes três motivos que esta secção existe.
José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público
100 Problemas com José Paulo Viana - Capicuas
Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião fevereiro de 2016
Clube de Matemática SPM
Título: Capicuas
Estou a escrever este texto às 6 horas, 10 minutos e 22 segundos do dia 11 de fevereiro de 2016. Se escrevermos, por ordem, os algarismos que representam este momento, obtemos:
610221122016
Este número tem uma caraterística especial: é uma capicua, ou aquilo a que os matemáticos chamam um palíndromo.
Se consultarmos o Dicionário Lello Escolar, encontramos:
Capicua, s. f. número que se lê igualmente da direita para a esquerda ou vice-versa e ao qual se atribui boa sorte.
É curioso isto de pensarmos que as capicuas dão boa sorte. Lembro-me de quando estudava no Porto e andava de carro elétrico ter arranjado alguns bilhetes (custavam 8 tostões para uma zona e 12 para duas…) que eram capicuas. Bem, algumas vezes forcei a saída da capicua: comprava três ou quatro quando estava perto. Não é que pensasse que davam sorte mas encontrava um certo fascínio naqueles números. E eram raros. Como os bilhetes tinham 6 algarismos, a probabilidade de sair uma capicua era de um em mil. Guardei-as cuidadosamente. Quer dizer, eu julgava que tinha sido cuidadosamente mas quando agora fui à procura delas já não as consegui encontrar…
Vejamos dois problemas e algumas curiosidades com capicuas.
a) 2255 x ABC = CBA x 5522
b) 1998 x DE = ED x 8991
c) 1998 x FGH = HGF x 8991
Nota: Cada letra corresponde a um algarismo. Assim, ABC é um número de três algarismos.
Há muitos quadrados perfeitos que são capicuas. Os menores são 121, 484 e 676.
Cubos perfeitos já são mais raros: até 1 milhão só aparece o 1331, que é o cubo de 11. E depois aparecem:1030301, 1367631 e 1003003001.
Nas potências com expoente 4, até 1013, só existem quatro capicuas, todas elas relacionadas entre si:
114 = 14641
1014 = 104060401
10014 = 1004006004001
100014 = 10004000600040001
Para as potências de expoente 5 ou 6, e até 1020, não existem capicuas. Será sempre assim?
2) Números triangulares.
Os primeiros são 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...
Aqui, as capicuas vão aparecendo com regularidade:
t11 = 66 t36 = 666
t77 = 3003 t109 = 5995
t132 = 8778 t173 = 15051
Continuará sempre assim?
3) 76367 é a maior capicua conhecida que tem estas propriedades:
- é um número primo,
- se formos eliminando, um a um, os seus algarismos a partir da esquerda, obtemos sempre números primos.
4) Primos capicua em que o número de algarismos é primo e capicua:
Com 131 algarismos: 1000…000111000…0001
Com 757 algarismos: 1000…0003000…0001
Com 10301 algarismos: 1000…0005452545000…0001
Respostas aos problemas:
1. 10201, 12321, 14641, 40804, 44944.
2. ABC = 502, DE = 81, FGH = 891.