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José Carlos Santos - Departamento de Matemática da FCUP Dia 21 de cada mês
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Título: O início da trigonometria
A trigonometria é um ramo muito antigo da Matemática. Em vez de tentar definir exactamente o que é a trigonometria, vamos falar aqui de funções trigonométricas. Qual será a mais antiga função trigonométrica a ser usada? Será o seno? A tangente?
De facto, a mais antiga função trigonométrica a ser usada não é nenhuma das actuais. É a corda de um ângulo, que pode ser definida assim: dado um ângulo α, considera-se a circunferência de raio 1 centrada no vértice do ângulo. Então os lados do ângulo interesectam a circunferência e a corda de α é o comprimento do segmento de recta que une esses pontos de intersecção (o qual é uma corda da circunferência). Com esta definição é fácil provar que as cordas dos ângulos com 60º, 90º e 180º de amplitude são 1, raiz quadrada de 2 e 2, respectivamente. Vendo a figura abaixo, é fácil deduzir uma propriedade da corda: a soma dos quadrados das cordas dos ângulos α e 180º – α é igual a 4, pelo teorema de Pitágoras. Assim sendo, se conhecemos a corda de α, então também conhecemos a corda de 180º – α e vice-versa.
veja-se a figura abaixo. Pois bem: Ptolomeu não encarou isto como um teorema de Geometria pura. Foi usado para, dados dois ângulos α e β, encontrar a corda de α – β em função das cordas de α, de β, de 180º – α e de 180º – β.
Para terminar este texto, vamos ver uma contribução interessante de um matemático indiano, Bhāskara I (que viveu no século VII da nossa era) para a trigonometria. Para conseguir obter uma tabela de senos, ele determinou (desconhece-se como) uma aproximação muito boa da função seno (em [0,π/2]) por uma função racional f. É a função definida por