100 Problemas por José Paulo Viana

100 Problemas por José Paulo Viana - O Problema dos Ditadores

Este problema é curioso e traz algumas surpresas. Por isso, vamos analisá-lo para alguns valores de N, admitindo que a Terra é uma esfera perfeita de raio 6366 quilómetros.

N = 2

É fácil. Basta que estejam em pontos opostos da Terra. Por exemplo, um em Portugal (salvo seja!) e outro na Nova Zelândia. A distância entre eles, medida em linha reta, seria de 12732 km (à superfície, seria de 20000 km, mas vamos só considerar a primeira).

N = 3

Três pontos definem um plano. A interseção de um plano com a esfera é sempre uma circunferência. Convém, portanto, que a circunferência seja a maior possível. Logo, os três ditadores têm de ficar num círculo máximo (o equador, por exemplo), nos vértices de um triângulo equilátero. A distância entre eles, medida em linha reta, seria de 11026 km.

N = 4

Prova-se que a melhor solução é colocar os pontos nos vértices do poliedro regular de quatro vértices, ou seja, num tetraedro inscrito na esfera terrestre. Neste caso, a menor das distâncias entre os pares de pontos é de 10396 km.
Vamos dar um salto e deixar o caso N=5 para depois.

N = 6

Também aqui convém considerar o poliedro regular com seis vértices. Os ditadores ficarão assim nos vértices de um octaedro regular inscrito na esfera. A menor das distâncias entre os pares de pontos é de 9003 km.

N = 5

Os matemáticos demoraram um pouco mais de tempo a descobrir a solução. Com alguma surpresa, verificou-se que, apesar de haver menos um ponto que no caso anterior, era impossível consegui que a menor das distâncias entre os pares de pontos fosse inferior a 9003 km. Portanto, uma hipótese (embora desequilibrada) é colocar os ditadores em cinco dos seis vértices de um octaedro inscrito.

N = 8

 

Existe um poliedro regular com oito vértices, o cubo. Se os ditadores ficarem nos vértices de um cubo inscrito na esfera, a menor das distâncias entre os pares de pontos é de 7351 km.

Durante algum tempo, acreditou-se ser esta a solução.

Passado uns tempos e com certa surpresa, viu-se que era possível melhor, não usando um poliedro regular.

Para isto, vamos considerar um cubo na posição habitual, ignorar as arestas verticais e rodar a face inferior de 45 graus. Unindo cada vértice inferior com os dois vértices superiores mais próximos, obtemos um antiprisma quadrado. Este sólido tem duas faces quadradas e quatro faces laterais triangulares. Se considerarmos um antiprisma com as arestas todas iguais, consegue-se que a menor das distâncias entre os pares de pontos seja de 7739 km.

Ganhámos 388 km em relação ao cubo.

Este problema está resolvido para todos os valores de N até 12, e depois para N igual a 14 e 24.

Caro leitor, se conseguir encontrar a solução para um valor de N diferente dos anteriores, então haverá para sempre na história da Matemática uma referência (embora pequena…) ao seu feito.