100 Problemas por José Paulo Viana - De Volta ao Ponto de Partida
Eixos de Opinião - Abril de 2018
Título: De Volta ao Ponto de Partida
No “100 Problemas” anterior, analisámos o antigo enigma do urso:
Um caçador partiu de um certo local. Caminhou um quilómetro para sul, depois um para oeste e a seguir um para norte, voltando ao ponto de partida. Viu um urso e disparou. De que cor era o urso?
Desta vez, vamos um pouco mais longe, investigando um prolongamento deste tipo de situação.
A partir de que pontos da Terra é possível caminhar um quilómetro para sul, depois um para oeste, a seguir um para norte e finalmente um para leste, voltando exatamente ao ponto de partida?
Não tendo nunca pensado neste tipo de problemas, a nossa intuição dir-nos-á que isto é sempre verdade. Mas não é.
Recapitulando, e admitindo que a Terra é uma esfera perfeita, quando andamos para norte ou para sul, caminhamos ao longo de um meridiano (longitude constante). Quando nos deslocamos para oeste ou para leste, seguimos um paralelo (latitude constante).
Como os meridianos são círculos máximos, o deslocamento de um quilómetro, para norte ou para sul, corresponde sempre à mesma mudança de latitude qualquer que seja o meridiano por onde nos movemos.
O mesmo não acontece com os paralelos. Se andarmos um quilómetro para oeste ou para leste, a mudança de longitude correspondente vai depender do paralelo.
A figura mostra (de forma exagerada) o que acontece em cada um dos hemisférios. No Norte, o último percurso ultrapassaria o ponto de partida, terminando-se a leste dele. No Sul, não se chegaria ao ponto inicial.
Note-se que só perto dos Polos é que os desvios se tornam significativos. Aqui em Portugal, a distância entre os pontos de partida e de chegada seria de apenas uns 12 centímetros.
Para encontrar soluções do nosso problema, temos de ir para uma zona onde os desvios se compensem. Isso acontece se partirmos meio quilómetro a norte do Equador. Os percursos para Oeste e para Leste serão feitos em paralelos que têm o mesmo comprimento.
Temos então que todos os pontos pertencentes ao paralelo que está meio quilómetro a norte do Equador são solução do problema.
Procuremos mais. Para isso, aproximemo-nos do Polo Norte.
Os cálculos não são fáceis mas, partindo a pouca distância do Polo, é possível fazer os três primeiros percursos como se vê na figura, regressando ao paralelo inicial. Depois, caminhando para leste, passa-se pelo ponto de partida e dá-se mais uma volta completa, perfazendo um quilómetro.
Partindo ainda mais perto do Polo, consegue-se que o quarto percurso (para leste) tenha duas voltas completas depois de se passar a primeira vez pelo ponto de partida.
E assim sucessivamente, com 3, 4, … voltas.
E perto do Polo Sul, haverá soluções? A resposta é positiva e corresponde a itinerários “simétricos” dos anteriores. No segundo percurso, para oeste, dá-se uma volta completa e mais um “pouco”, tal como se vê na figura. Se o ponto de partida estiver a uma distância conveniente (e difícil de calcular…) do Polo, a caminhada termina no local de onde se partiu.
Se o início se situar ainda mais perto do Polo, é possível fazer com que se deem 2, 3, 4, … voltas e um “pouco” mais ao caminhar para oeste, de modo a terminar no local de onde se partiu.