100 Problemas por José Paulo Viana - O Mundial de Futebol e os Aniversários
Eixos de Opinião de junho de 2018
Título: O Mundial de Futebol e os Aniversários
Vamos começar com um problema famoso.
Num jogo de futebol, há 23 pessoas dentro do campo: 11 jogadores de uma equipa, 11 de outra e mais o árbitro.
Qual é a probabilidade de, nesse grupo de 23, haver duas que comemoram o aniversário no mesmo dia?
Caro leitor, se nunca pensou nesta situação arrisque fazer uma estimativa.
90%? 50%? 30%? 20%? 10%? 5%? Que lhe parece?
Bem, há 365 dias no ano e apenas 23 aniversários (ignoremos a hipótese do dia 29 de fevereiro, que iria complicar os cálculos e que muito pouca influência teria nos resultados). A nossa intuição diz-nos que a probabilidade terá de ser pequena.
Mas o melhor é fazer os cálculos.
Comecemos, porque é mais fácil, por calcular a probabilidade de não haver coincidência de aniversários.
Para o primeiro jogador, qualquer um dos 365 dias serve. Para o segundo já só há 364 dias disponíveis. Para o terceiro temos 363 possibilidades e assim sucessivamente. Portanto:
Probabilidade de não haver repetições=
A probabilidade de haver pelo menos dois com o mesmo dia de aniversário vai ser o complementar deste valor:
Probabilidade de haver repetição aproximadamente 1 - 0,493 aproximadamente 0,507
Surpresa! É ligeiramente mais provável que haja duas pessoas a fazer anos no mesmo dia do que não haja.
Isto vai completamente contra a nossa intuição. Será mesmo possível? Não nos teremos enganado?
Aproveitemos o Campeonato Mundial de Futebol que acaba de começar para tentar confirmar, na prática, se isto é mesmo verdade. Como é muito difícil e daria muito trabalho ver, jogo a jogo, o que acontecia, passemos a uma situação semelhante (isto é, com grupos de 23 pessoas ao acaso). Por sorte, as seleções de cada país têm 23 jogadores convocados e a FIFA, entre outras informações, disponibilizou as datas de nascimento de todos eles. Podemos vê-las nesta página da Internet.
São 32 seleções. Se tudo estiver certo, é de esperar encontrar coincidências no dia de anos em cerca de metade delas.
A primeira que lá está é a do Egito. Todos os 23 aniversários são diferentes.
Segue-se a Rússia e… há dois a fazer anos a 17 de outubro: Aleksei Miranchuk e Anton Miranchuk. Bem, é verdade, são gémeos, mas fazem anos no mesmo dia!
Depois, Arábia Saudita e Uruguai sem nada. No primeiro grupo de quatro equipas, o acontecimento que estamos a analisar já ocorreu uma vez. Continuemos.
Irão: Saman Ghoddos e Pejman Montazeri comemoram a 6 de setembro.
Espanha: David Silva e Koke a 8 de janeiro.
Prosseguindo até ao fim verifica-se o inesperado (ou o esperado?). Há coincidência de aniversário em exatamente metade das seleções: Rússia, Irão, Espanha, Marrocos, Portugal, Austrália, França, Peru, Croácia, Nigéria, Brasil, Costa Rica, Alemanha, Coreia do Sul, Inglaterra e Polónia.
Através de um exemplo concreto confirma-se que a nossa intuição falha. Um acontecimento, que nos parecia ser raro, afinal realiza-se metade das vezes. Não é bonito ver a matemática a funcionar?
Podemos ir um pouco mais longe. Se fizéssemos os cálculos, veríamos que a ocorrência de dois ou mais pares de aniversários num grupo de 23 pessoas tem probabilidade 1/9. Então, neste mundial é de esperar que isso aconteça em 3 ou 4 seleções. Parece demais, mas… são exatamente quatro!
Marrocos: Younès Belhanda e Nabir Dirar (25 de fevereiro), Yassine Bounou e Ahmed Reda (5 de abril).
Brasil: Filipe Luís e Willian (9 de agosto), Alisson e Roberto Firmino (2 de outubro).
Portugal vai mais longe, tem três pares de jogadores: Cristiano Ronaldo e Manuel Fernandes (5 de fevereiro), Bruno Fernandes e João Moutinho (8 de setembro), José Fonte e Raphaël Guerreiro (22 de dezembro).
A maior surpresa vem da Polónia, com o acontecimento, esse sim, muitíssimo improvável, de 4 pares: Grzegorz Krychowiak e Rafał Kurzawa (29 de janeiro), Łukasz Fabiański e Wojciech Szczęsny (18 de abril), Łukasz Piszczek e Łukasz Teodorczyk (3 de junho), Jacek Góralski e Michał Pazdan (21 de setembro).
