(U)MaTemática Elementar por José Carlos Santos

Eixos de Opinião de novembro de 2012

 

 



A Matemática elementar tem muito que se lhe diga. Embora nos seja familiar, é sempre possível encará-la de um ponto de vista novo ou inesperado.

José Carlos Santos - Departamento de Matemática da FCUP

       

Artigo de novembro de 2012 - Novidade Clube SPM 

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Título: A Prova dos Nove

A prova dos nove (também conhecida por «noves fora nada») é bastante bem conhecida pelos estudantes de Matemática. Baseia-se em haver uma maneira muito simples de calcular o resto da divisão de qualquer número natural por 9. O método é este: somam-se os algarismos do número ndado e então, se s for esta soma, s e n têm os mesmos restos ao dividir por 9. Naturalmente, se s for maior do que 9, pode-se recomeçar o processo com o número s. Finalmente, podem-se ignorar todos os algarismos 9 que aparecerem nos números com que se trabalha (daí «noves fora nada»).

Assim, por exemplo, se o número que nos for dado for 8588, começa-se por calcular a soma 8 + 5 + 8 + 8, que é igual a 29. Ao recomeçarmos o processo, podemos esquecer o 9 e o que fica é apenas 2. Então, o resto da divisão de 8588 por 9 é igual a 2. Quem duvidar, pode sempre verificar que 8588 = 9×984 + 2.

E que interesse tem sabermos qual é o resto da divisão de um número por 9? Tem o interesse de nos ajudar a verificar se os cálculos que fizemos estão correctos. Se, por exemplo, fizermos o cálculo 582 + 273 = 855, podemos usar a prova dos nove do seguinte modo: o resto da divisão de 582 por 9 é 6 e o resto da divisão de 273 por 9 é 3. Logo, se o cálculo estiver certo, o resto da divisão de 855 por 9 terá que ser igual ao resto da divisão de 3 + 6 (= 9) por 9, ou seja, terá que ser igual a 0. E, de facto, 8 + 5 + 5 = 18 e, como 1 + 8 = 9, o resto é mesmo 0. É claro que isto não prova que o resultado está certo; apenas aumenta o grau de confiança que se pode ter na sua correcção. É para este tipo de verificações que a prova dos nove é usada desde a antiguidade. Já no século III da nossa era empregue no Império Romano, sob o nome abjectio novenaria.

Das pessoas que usam a prova dos nove, são poucas as que sabem porque é que ela funciona. No entanto, a explicação é simples. Considere-se, por exemplo, o número 527. Por que é que este número e o número 5 + 2 + 7 (= 14) têm o mesmo resto ao dividir por 9? Isto é assim porque:

527 - (5 + 2 + 7) = (500 - 5) + (20 - 2) + (7 - 7) = 5×99 + 2×9,

que, obviamente, é um múltiplo de 9. E este argumento funciona para quaisquer algarismos e qualquer número de algarismos.

Outra utilidade da prova dos nove consiste em verificar se um número foi correctamente transmitido. Se eu enviar um número a outra pessoa e, além do número, enviar o resto da divisão do número por 9, a pessoa que recebe esta informação pode verificar se o segundo número é ou não o resto da divisão do primeiro por 9. Se não for, é porque houve um erro na transmissão. Mas este método tem um defeito grave. Quando se transcreve um número, o erro mais frequentemente cometido consiste em trocar a ordem de dois algarismos. Ora este número «errado» e o número certo de que se partiu têm os mesmos restos ao dividir por 9. Como é que se pode evitar este problema? Usando a prova dos onze! Mas isso pode esperar até ao próximo mês...


Publicado/editado: 20/11/2012