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Nesta coluna pretendo partilhar todos os meses a minha opinião sobre questões relacionadas com a Matemática e com o seu ensino. Os leitores são convidados a comentar, com argumentos a favor ou contra, aliás é esse o objectivo desta coluna: discutir diferentes pontos de vista sobre o tema do artigo (dia 3 de cada mês).
José Carlos da Silva Pereira – Professor de Matemática, autor de livros escolares e responsável pelo site Recursos para Matemática. |
No final do artigo do mês de Fevereiro propus aos leitores três problemas de Combinatória. Num desses problemas, o terceiro, a solução já era dada e pedia-se uma resolução que utilizasse Combinatória. O problema era o seguinte:
De quantas maneiras diferentes é possível coser um botão de quatro casas, passando a agulha por pelo menos duas casas?
Nota: Considerar como diferentes as configurações . Depois de cosidos, os botões não se podem rodar.
Como resolver este problema recorrendo à Combinatória?
Os quatro buracos de cada botão podem ser ligados de seis maneiras distintas que podem ser designadas por A, B, C, D, E e F:
Quando se cose o botão, cada uma desta ligações pode ou não estar presente. Atribuindo o valor 0 a uma ligação, ela está não presente e atribuindo o valor 1, ela está presente. Por exemplo, atribuindo o valor 0 às ligações A, B, D e F e o valor 1 às ligações C e E, corresponde à combinação:
Como todas as ligações têm duas hipóteses (ou estão presentes ou não estão), o número total de combinações é 26 = 64. Destas tira-se o caso em que nenhuma das ligações aparece, isto é, o caso em que é atribuído o valor 0 a todas as ligações. Portanto o número de maneiras de coser o botão é 26-1 = 64 - 1 = 63.
E se o botão tivesse cinco buracos? Ou seis? Ou mil? Como poderíamos contar todas as ligações?
Em Combinatória para contarmos o número de subconjuntos de p elementos que se podem formar com os n elementos de um conjunto (ou se quisermos, o número de maneiras de escolher p elementos de um conjunto com n elementos) usamos combinações simples de n elementos tomados p a p. Este número representa-se por nCp e é dado por
.
Para termos uma ligação, temos de escolher dois buracos entre o número de buracos do botão. No caso de o botão ter quatro buracos, o número de ligações é igual a 4C2=6 , como já tínhamos visto. Se o botão tiver cinco buracos, o número de ligações é igual a 5C2=10, se tiver seis, o número de ligações é 6C2=15 e assim sucessivamente. Portanto, no caso de o botão ter n buracos, com n natural maior que 1, o número de ligações é dado por
e o número de maneiras de coser o botão é dado por
.
Neste momento o leitor já pode determinar o número de maneiras de coser um botão, sabendo o número de buracos que tem.
Duas questões para os leitores:
1. A sucessão , com n natural maior que 1, gera uma sequência de número conhecida. Qual?
2. Que relação (se existir) consegue encontrar entre a resolução deste problema e o número de subconjuntos de um conjunto com n elementos?
Para finalizar, um agradecimento ao professor Pedro Freitas pela resposta que deu a este problema e que me ajudou a escrever este artigo.
Os outros dois problemas do artigo de Fevereiro ainda estão em aberto, podendo o leitor deixar a sua proposta de resolução destes problemas no Facebook do Clube SPM.