Se e Só Se por José Carlos Pereira

No passado mês de Dezembro escrevi um artigo cujo título é Estamos Sempre a Aprender!. Nele relatei um episódio que ocorreu numa das minhas aulas de Matemática A do 11.º ano. De certa forma a situação que vou relatar a seguir está relacionada com esse episódio, não directamente, mas na medida em que também constituiu uma aprendizagem.

O grupo do Facebook, Recursos de Matemática, do qual sou administrador e que conta com quase cinco mil membros, na sua maioria professores e/ou explicadores de Matemática, é um espaço de partilha de materiais e de discussão de opiniões e ideias. Não raras vezes surgem questões, que apesar de poderem ser consideradas elementares, conduzem a excelentes discussões. Numa dessas questões, o colega J.P. perguntava o seguinte:

“O seguinte problema é de um manual do 6.º ano: 

É possível resolver este problema utilizando apenas conteúdos do 6.º ano?”

É claro que quando colocou a questão o J.P. estava a pensar que o problema só poderia ser resolvido utilizando teorema de Pitágoras, por exemplo, da seguinte forma: 

Sendo l a medida do lado do quadrado, a sua área é dada por l ². Assim, pelo teorema de Pitágoras,  l ²+l ²=3²  é equivalente a 2l ²=9, logo  l ²=4,5  , ou seja, a medida da área do quadrado é 4,5 m ². Como a medida área do círculo é 3,14x(1,5)² m ², a medida da área sombreada é  2,25x3,14-4,5  aproximadamente igual a 2,57 m ².

Esta resolução está correcta, o problema é que o teorema de Pitágoras não é estudado no 6.º ano e portanto, os alunos que frequentam esse ano de escolaridade não teriam conhecimentos suficientes para resolver este problema. Deveria ser erro do manual, pensou ele. Pensou ele, eu e outros colegas quando o olhámos pela primeira vez. É a questão da forma como estamos habituados a abordar certos problemas. Ao vermos um quadrado com uma das suas diagonais desenhadas pensamos logo no teorema de Pitágoras e nem consideramos sequer outra resolução. É quase instintivo, como se estivéssemos formatados para tal! 

Depois de alguns comentários, um dos colegas do grupo, provavelmente “não formatado”, apresentou uma resolução distinta da apresentada em cima, simples, elegante e compatível com os conteúdos leccionados no 6.º ano. Apesar de o colega não ter incluído uma figura, a que apresento a seguir ilustra a sua resolução:

As diagonais de um quadrado são perpendiculares e bissectam-se. Assim é possível dividir o quadrado em dois triângulos isósceles e iguais cuja medida da base é 3 m e a medida da altura é 1,5 m. Logo, a medida da área sombreada é  

Portanto, a resposta à questão do J.P. é sim, é possível. O problema é elementar, desde que não se complique. Como escrevi no tal artigo de Dezembro: “Muitas vezes há resoluções diferentes e melhores do que aquelas que usamos há anos e que acreditamos serem as melhores. Conhecê-las e dá-las a conhecer aos nossos alunos é sempre uma mais-valia.”

No seguimento dessa publicação e da discussão que se seguiu, a colega M.C. fez outra publicação onde se manifestava surpresa por os seus alunos terem apresentado quatro resoluções distintas de um problema de um teste do 6.º ano. O problema é o seguinte:

Consegue o leitor “adivinhar” as quatro resoluções distintas apresentas pelos alunos da M.C.? Não se esqueça que a fórmula da área do trapézio não faz parte dos conteúdos leccionados no 6.º ano. Deixe a sua resolução, ou as suas resoluções, na página do Facebook do Clube SPM.