Se e Só Se por José C. Pereira

Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião abril de 2016

               


Nesta coluna pretendo partilhar todos os meses a minha opinião sobre questões relacionadas com a Matemática e com o seu ensino. Os leitores são convidados a comentar, com argumentos a favor ou contra, aliás é esse o objectivo desta coluna: discutir diferentes pontos de vista sobre o tema do artigo (dia 3 de cada mês).


José Carlos da Silva Pereira – Professor de Matemática, autor de livros escolares e responsável pelo site Recursos para Matemática. Ler artigos anteriores aqui.



Se e Só Se por José Carlos Pereira - Contornando Alguns Limites notáveis

Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião abril de 2016

 

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Título: 
 
Contornando Alguns Limites Notáveis

O cálculo de limites, em particular a utilização dos limites notáveis, é normalmente um dos temas onde os alunos do 12.º ano mais dificuldades têm. É por essa razão que este texto se destina especialmente a eles. 


Até há uns anos esta dificuldade era muitas vezes ultrapassada com o recurso à Regra de Cauchy, que na grande maioria dos casos facilitava em muito o cálculo de um limite. Com a proibição da utilização em contexto de exame de processos de resolução não previstos no programa, esta “arma” deixou de estar disponível. Sobre este assunto, escrevi um artigo em Janeiro de 2014.


Se na aplicação dos limites notáveis




não há grandes alternativas aos métodos tradicionais, já na aplicação dos limites notáveis




há uma alternativa que muitas vezes não é notada.  


Vejamos então, utilizando alguns exemplos. 


Na prova 1.ª fase do Exame Nacional de Matemática A de 2015, um dos limites a calcular era



na verdade pretendia-se o limite quando x tende para 1/2 por valores à sua esquerda. No entanto, o valor deste limite quando x tende para 1/2 por valores à sua esquerda e à sua direita é igual, pelo que neste artigo não faremos essa distinção. Resolvendo-o, usando um dos métodos mais usuais, teríamos:
 


Então como contornar a aplicação do limite notável? Simplesmente, recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto. 

Neste caso, tomando




e portanto: 


  

 
Mas, tendo em conta a definição de derivada de uma função num ponto, o valor do limite   



Assim, como


conclui-se que: 



 
Um outro exemplo é o limite




presente no Teste Intermédio de Maio de 2012. A utilização de um método mais tradicional para o resolver, e deixo ao leitor essa tarefa, conduziria a um conjunto elaborado de cálculos que inevitavelmente complicariam a resolução. Por oposição, usar o método sugerido neste texto, facilita-a bastante. 

Por conseguinte, considerando




É claro que se pode aplicar este tipo de resolução a limites que envolvam o limite notável




ou outros limites que não sejam notáveis. Por exemplo, ao limite



 

Caberá ao leitor escolher o caminho que entender ser o mais adequado! 

 
Para finalizar, deixo uma lista de limites para resolver usando a definição de derivada de uma função num ponto.  

 
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Publicado/editado: 03/04/2016