(U)Ma Temática Elementar por José C. Santos

(U)Ma Temática Elementar por José Carlos Santos - Número de Neper

Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião setembro de 2017

Jacob Bernoulli

O número de Neper, que geralmente se representa por e, é aproximadamente igual a 2,718281828. De facto, este número foi descoberto por Jacob Bernoulli décadas após a morte de Neper e tem bastante pouco a ver com este último.

O contexto no qual este número surgiu é bastante interessante e tem sido usado repetidamente na maneira de o ensinar. Considere-se o seguinte problema, proposto por Jacob Bernoulli num artigo publicado em 1690: 

Uma pessoa empresta dinheiro, devendo recebê-lo de volta ao fim de um ano, com juros. Suponha-se que quem empresta pode decidir dividir o ano em várias fracções idênticas, recebendo o dinheiro mais os juros ao fim de cada fracção, com uma taxa de juro proporcional à fracção, voltando a emprestá-lo imediatamente. Quanto é que a pessoa receberia no fim do ano? 

Assim, por exemplo, suponha-se que o empréstimo é de 1000 € e que a taxa de juro anual é de 10%. Se o pagamento for feito no fim do ano, quem emprestou recebe 1100 €. Mas se emprestar o dinheiro por meio ano (a uma taxa de juro de 5% por meio ano), recuperar o dinheiro ao fim desse tempo e voltar a emprestá-lo por mais meio ano, aí receberá 1102,5 €. E se emprestar o dinheiro todos os trimestres a uma taxa de juro trimestal de 2,5%, ao fim do ano receberá 1103,81 €. Ou seja, em quantos mais intervalos partir o ano, mais dinheiro receberá no fim.

Mas que tipo de «mais dinheiro» é este? Pode crescer sem limites ou, pelo contrário, há um limite? Sim, há um limite e esse limite é de cerca de 1105,17 €. E de onde é que vem este número? É o limite da sucessão dos números da forma 1000(1 + 1/(10n))ⁿ, que é 1000e^1/10.

De facto, após ter formulado este problema, tudo o que Jacob Bernoulli provou sobre e foi que 2 < e < 3. Aliás, nem empregou nenhum símbolo para designar aquele número (nem estabeleceu qualquer ligação entre este e exponenciais ou logaritmos). A primeira pessoa usar um símbolo para aquele número foi Leibniz (e usou o símbolo b e não o símbolo e).

A primeira pessoa a dar importância ao número que hoje designamos por número de Neper foi Euler. Para começar pelo aspecto menos importante, foi ele quem usou o símbolo e para o representar. É por vezes afirmado que o fez por ser a primeira letra do seu próprio apelido, mas isso não é verdade. No texto onde fez isso, era natural usar uma vogal para esse efeito e a letra a já estava reservada para outra coisa. Além disso, Euler provou que

provou que e é irracional e, acima de tudo, estudou a função exponencial de base e, provando que é igual à sua própria derivada. 

 
De facto, a importância do número e vem em grande parte do facto de a função exponencial de base e (isto é, a função que associa a cada número x o número e^x) ser a única função exponencial igual à sua própria derivada. Mais geralmente, as únicas funções reais de variável real iguais à sua própria derivada são os múltiplos da função exponencial de base e.

É claro que Euler sendo Euler não ficou por aí. Também atribuiu um significado a e^x quando x é um número complexo. É daí que vem a famosa relação de Euler

No próximo mês veremos como e aparece em outros contextos para além daquele que foram aqui mencionados.