Diagonais por Rui Gonçalves

Há já alguns anos que os números complexos fazem parte do programa oficial do 12º ano. Contudo, a forma como “aparecem” não é de todo a mais adequada. Na mente de um estudante que há mais de 8 anos trabalha única e exclusivamente com reais, a introdução da raiz quadrada de número negativo vai contras as regras dos números reais. Nenhum real pode ser raiz quadrada de um número negativo. A primeira pergunta que vem à mente do estudante é, afinal para que é que isto que nos serve?

O aparecimento dos complexos devia nascer de uma necessidade de ir mais além e ultrapassar a limitação dos reais.

No célebre livro “Conceitos fundamentais da matemática” Bento de Jesus Caraça faz referência aos fundamentais números complexos dando como exemplo um problema com solução real que quando tentada a resolução, no caso a fórmula resolvente do 3º grau, se chega à raiz quadrada de um número negativo. Um grande embaraço como ele diz…

Compreendendo que a fórmula resolvente para o 3º grau não tem cabimento no ensino secundário devemos por isso encontrar outros exemplos de necessidade dos números complexos.

Por exemplo, consideremos as unidades de temperatura, Kelvin e Celsius. Tomando as temperaturas 269K (-4 C) e 264K (-9 C), fazendo a média generalizada para p=2 obtém-se,

Note que o valor médio assim obtido é o mesmo que o da média aritmética. Mas se tentarmos fazer o mesmo para as correspondentes temperaturas na artificial escala Celsius,

Somos confrontados com raízes quadradas de números negativos. Mas de facto é evidente que existe a média e que é real sem sobra de dúvida.

Deixamos aqui o desafio de arranjar mais exemplos em que os números reais “não são suficientes” para resolver um problema cuja solução é bem real.

No próximo mês voltaremos aos números complexos desta vez usando-os para resolver integrais bem conhecidos de obtenção muito trabalhosa.