Se e Só Se por José Carlos Pereira

Clube de Matemática SPM - Março de 2018

               


Nesta coluna pretendo partilhar todos os meses a minha opinião sobre questões relacionadas com a Matemática e com o seu ensino. Os leitores são convidados a comentar, com argumentos a favor ou contra, aliás é esse o objectivo desta coluna: discutir diferentes pontos de vista sobre o tema do artigo (dia 3 de cada mês).


José Carlos da Silva Pereira – Professor de Matemática, autor de livros escolares e responsável pelo site Recursos para Matemática. Ler artigos anteriores aqui.



Se e Só Se por José Carlos Pereira - Problemas Geométricos...

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Título: Problemas Geométricos Com o Teorema de Pitágoras


O teorema de Pitágoras é seguramente o mais famoso e a maior celebridade do mundo da Matemática. Mesmo os mais avessos a esta ciência já ouviram falar dele e muitos, mesmo não sabendo muito bem o que quer dizer, têm memorizada a ladainha:


“Já Pitágoras de Siracusa dizia aos seus netos que o quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos.”

O teorema de Pitágoras, que já era conhecido muito antes do tempo de Pitágoras, acompanha quase todo o percurso escolar dos alunos portugueses. Digo muitas vezes aos meus alunos para estarem atentos, pois não é raro surgirem problemas em que é essencial a sua aplicação para se chegar a uma solução. 

Ultimamente, no Brilliant, site já referido por mim aqui, tenho-me deparado com vários problemas cuja solução se obtém recorrendo ao teorema de Pitágoras. E o que mais me chamou à atenção foi o facto de nem sempre ser óbvia a sua utilização.    

O primeiro, e simultaneamente o meu preferido, é o seguinte:

“Qual é a medida da área da coroa circular da figura (área a azul)?”   
 


A publicação original pode ser encontrada aqui.

O leitor menos atento a estas coisas pode pensar que não é possível chegar à solução do problema. Afinal estamos na presença de uma coroa circular e, neste caso, para determinar a sua área precisamos de saber a medida do comprimento de pelo menos um dos raios, ou o da circunferência maior ou o da circunferência menor. Na verdade não precisamos nem uma nem outra. O único dado apresentado na figura é suficiente.

Designando por R a medida do comprimento do raio da circunferência maior e por r a medida do comprimento do raio da circunferência menor, ambos na mesma unidade de medida, a área da coroa circular é dada por:

  
E agora? Como fazer? Não sabemos o valor de R nem o de r! Não sabemos nem temos de o saber, apenas temos de conhecer o valor de R2- r2 e para isso usamos o teorema de Pitágoras. 

Fazendo um pequeno desenho:

  


O triângulo [OPQ] é rectângulo em P pois PQ é tangente à circunferência pequena no ponto P e portanto PQ e OP são perpendiculares (O é o centro das duas circunferências). Recorrendo então a Pitágoras, vem:

 
Descobrimos que o valor de R2- r2 é 25, pelo que a medida da área da coroa circular é  25pi.


É de facto um problema simples, mas belíssimo! 

Um outro problema que também gostei muito foi o seguinte:

 “Qual é a medida do lado do quadrado?” 

  


A publicação original pode ser encontrada aqui.


Este é um bocadinho mais difícil que o anterior, mas não muito mais. Um desenho e o teorema de Pitágoras resolve-o. Vou deixar o leitor a pensar nele e no próximo artigo revelo a solução.

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Publicado/editado: 03/03/2018