Números Reais por Hélder Pinto - Coisas do Futebol

1. No último treino de futebol do meu filho fizeram o seguinte exercício de aquecimento em que todos os meninos estavam a correr aleatoriamente no campo. Quando soava um primeiro apito os meninos deviam fazer pares e, quem sobrasse, deveria fazer cinco «saltinhos» como «castigo» (uma espécie de salto de rã onde se trabalham os abdominais). De seguida voltavam todos a correr e, quando voltavam a ouvir o apito, deviam fazer grupos de 3; novamente, os meninos que sobrassem eram «penalizados» a fazer os saltinhos. De seguida procedeu-se de igual modo para grupos de 4 e de 5 atletas.

Curiosamente nos grupos de 2, de 3 e de 4 apenas um atleta foi «penalizado», enquanto que nos grupos de 5 todos os meninos ganharam o jogo.

Quantos meninos estiveram neste treino de futebol?

2. No futebol são bem conhecidas algumas táticas famosas como o 4x3x3 e o 4x4x2, mas são possíveis outras como, por exemplo, o 3x4x3 que é muito utlizada em certos países como, por exemplo, a Holanda.
Em teoria, muitas outras táticas poderiam ser utilizadas para distribuir os dez jogadores de campo.

2.1 Colocando sempre pelo menos dois jogadores em cada uma das zonas do campo (por exemplo, 4x2x4 ou 5x3x2), quantas táticas diferentes se podem utilizar num jogo de futebol?

2.2 E se cada zona puder ter apenas um jogador (por exemplo, 4x5x1 ou 6x1x3)? Quantas táticas diferentes se podem utilizar num jogo de futebol?

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Respostas:

1. 25 (outros números seriam possíveis como o 50, o 75, o 100, …; contudo, um treino com tantos futebolistas não é provável de acontecer).

2.

2.1 15

2.2 36

Nota. Para um aluno do final do secundário, as respostas do segundo problema saem facilmente usando um pouco de análise combinatória: C⁶₂=15 (distribuir 4 jogadores «indistinguíveis» por três caixas «distinguíveis») e C⁹₂=36 (distribuir 7 jogadores «indistinguíveis» por três caixas «distinguíveis»).

Para quem não tem conhecimentos de análise combinatória, basta usar um pouco de sistematização e ir apontando todas as hipóteses. Para 2.1 tem-se então que pretendemos distribuir 4 jogadores por 3 posições do campo (cada uma dessas posições já tem 2 jogadores).
 

1.ª situação: distribuir todos os jogadores por uma só posição do campo. Neste caso ter-se-iam as seguintes possibilidades: 6x2x2, 2x6x2 e 2x2x6 (3 casos).  
 

2.ª situação: distribuir três jogadores por uma posição e um jogador por outra posição. Nesse caso ter-se-iam as seguintes possibilidades: 5x3x2, 5x2x3, 2x5x3, 3x5x2, 3x2x5 e 2x3x5 (6 casos).
 

3.ª situação: distribuir dois jogadores por uma posição e dois jogadores por outra posição. Nesse caso ter-se-iam as seguintes possibilidades: 4x4x2, 4x2x4 e 2x4x4 (3 casos).
 

4.ª situação: distribuir dois jogadores por uma posição, um jogador por outra posição e ainda um outro jogador pela posição que resta. Nesse caso ter-se-iam as seguintes possibilidades: 4x3x3, 3x4x3 e 3x3x4 (3 casos).
 

É relativamente fácil perceber que não há mais possibilidades além das apresentadas e, portanto, conclui-se igualmente que a solução de 2.1 é 15.
 

Com um raciocínio perfeitamente análogo (e um pouco mais de trabalho) é possível obter a solução de 2.2.