Diagonais por Rui Gonçalves - Diagonais
Eixos de Opinião de Maio de 2018
Título: Diagonais
Olá e bem-vindos às Diagonais. Como prometido, regressamos ao cálculo Fracionário que abordamos o mês passado.
Uma particularidade da derivação e integração fracionárias é que estas podem ser feitas de muitas maneiras, ver, por exemplo a refª (1).
Por exemplo, Liouville propôs a derivada,
Tome como exercício, calcule a derivada f(x)=√x e veja que coincide com a função que obtivemos no texto do mês passado.
O operador de derivação fracionária estende-se também a ordens de derivações complexas.
É sabido por todos os leitores que a derivada usual da função exponencial é ela própria. Podemos então questionarmo-nos qual a derivada fracionária da função exponencial? Temos então,
A função Etα é uma derivada da exponencial clássica. Por exemplo,
Se tivermos em conta o caso da exponencial com sinal negativo podemos obter uma fórmula para uma das formas da função exponencial generalizada,
Falar na exponencial é falar em seno e coseno e recordando a identidade de Euler generalizam-se também estas duas funções. Fica aqui uma sugestão de trabalho de casa, obter as correspondentes fórmulas para o seno e coseno generalizados.
Se desejarem saber mais sobre este assunto será uma boa ideia ler, K. S. Miller and B. Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, John Wiley, New York (1993).