Diagonais por Rui Gonçalves - Evolução de um Sistema Dinâmico
Eixos de Opinião de junho de 2018
Título: Evolução de um sistema dinâmico
Um sistema dinâmico é uma formalização matemática do conceito de evolução no tempo e no espaço de um ponto usando uma regra estabelecida. As diferentes escolhas que se podem fazer para as regras a fixar e as propriedades que o tal espaço possa ter dão-nos uma ideia de como vasta pode ser a classe de objetos descrita por este conceito. O tempo pode ser discreto ou contínuo.
Uma classe importante de sistemas dinâmicos são os problemas de valor inicial envolvendo uma equação diferencial (ED) ou um sistema de equações diferenciais.
Podemos então considerar uma ED,
x ̇=v(t,x), onde x(t0 )=x0
onde x ̇ é a derivada da solução, x, em ordem ao tempo (t) e que é uma função e v representa a mudança de velocidade em cada instante.
Neste pequeno texto iremos falar da análise qualitativa da dinâmica de um sistema autónomo, onde v depende apenas de x. Para tal apenas precisamos de “ferramentas” que são já do conhecimento de quem frequenta ou frequentou o 12ºano.
Sabendo que o sinal da derivada (x) ̇ nos dá os intervalos de monotonia da solução (x) podemos esboçar qualitativamente o comportamento desta ao longo do tempo.
Considere, por exemplo, o sistema x ̇=x(x-1).
Coloquemos no eixo dos yy a derivada da solução e no eixo dos xx a solução. Obtemos a figura seguinte,
Notamos que quando a velocidade se anula a solução da ED é constante (0 e 1), chamamos a essas soluções constantes, pontos de equilíbrio da ED. Esses pontos podem naturezas dinâmicas diferentes. Verificamos que a derivada da solução é positiva nos intervalos ]-∞,0[∪]1,+∞[ e negativa entre as raízes do polinómio (2ºmembro da ED).
Se marcarmos as setas -> para crescimento e <- para decrescimento no eixo dos xx da solução, obtemos o diagrama de fase do sistema,
---------------------------------------------------------→0←--------←1→-----------------------------------------
Que nos diz que uma solução no intervalo ]-∞,0[ cresce e portanto esta irá aproximar-se do ponto 0, no intervalo ]1,+∞[ também cresce e portanto a solução vai tender para infinito. No intervalo ]0,1[ vai decrescer e portanto tende para zero. Assim o ponto 0 “atrai” as soluções e o chamamos de ponto atractor (poço). O ponto 1 “repele” as soluções e assim o chamamos de ponto repulsor (fonte).
Num gráfico (t,x) podemos ver os diferentes tipos de solução para os vários casos de ponto iniciais,
Fica aqui o desafio para explorar as diferentes soluções para outras equações autónomas.
No site, encontram um programa que desenha as soluções (de forma aproximada).
Fiquem bem e boas contas.