Diagonais por Rui Gonçalves - Número de Neper
Eixos de Opinião de Setembro de 2019
Rui Gonçalves - Professor de Matemática da FEUP. Membro Integrado do Laboratório de Inteligência Artificial e de Apoio à Decisão - LIAAD INESC TEC
Título: Número de Neper
Olá e bem-vindos às diagonais. Depois de um período de férias estamos de regresso para mais crónicas matemáticas. Este mês vamos falar do número de Neper (e) é uma das constantes fundamentais da matemática. O seu valor é aproximadamente 2,7182 e é a base dos logaritmos naturais. Como surgiu este numero? Embora John Napier (1550-1617) (Neper em latim) nunca tenha descrito a constante que usava, foi a primeira pessoa a fazer referência ao notável e. Quem o descreve é Euler quase 100 anos depois.
Suponha que pede emprestado 1 € a um banco (geralmente pede-se mais dinheiro mas para simplicidade nas contas use-se esse valor). Se o banco cobrar um juro de 100% ao ano a sua divida passa a ser 2 €. Se em vez dos 100% cobrados uma só vez o banco cobrar um juro de 50% em cada 6 meses então a sua divida é, 1 € + 0.5 € + 0.75 € = 2,25 €.
Note que esse valor é igual a (1+1/2)2. Por exemplo se tivermos que pagar uma taxa de 10% em intervalos de um décimo de um ano a dívida será de,
(1+1/10)10 = 2,5937 €.
Sem dúvida que este esquema de juros é melhor para o banco e então este resolve cobrar 1% de taxa 100 vezes por ano. Neste esquema a dívida passa a ser,
(1+1/100)100 = 2.7048 €
Se o esquema for o de aplicar 0,1% 1000 vezes por ano,
(1+1/1000)1000 = 2,7169
Á medida que os intervalos de tempo se tornam mais breves a dívida cresce, mas com limite, como se estará a aperceber. Naturalmente para taxa de juro de 1/n % pagos em n pagamentos anuais a dívida é,
(1+1/n)n
Se tomarmos o limite em n chegamos a aquilo que se chama de juros compostos continuamente e assim,
lim(n→∞)(1+1/n)n = 2,7182 €.
Assim o limite máximo que o banco pode receber num ano por empréstimo de 1€ tendo em conta que cobra juros de 100% ao ano compostos continuamente no ano é o número de Neper em Euros. Trata-se de um número muito importante no cálculo e muito usado em inúmeras aplicações.
É tudo por agora voltaremos para o mês que vem com mais curiosidades matemáticas.