(U)Ma Temática Elementar por José Carlos Santos - Ternos Pitagóricos Revisitados

Eixos de Opinião de abril de 2018

Título: Ternos pitagóricos revisitados

Três números naturais a, b e c tais que a2 + b2 = c2 formam aquilo a que se chama um terno pitagórico. Estes ternos já foram mencionados nesta rubrica há vários meses. Foi aí descrito um método fácil de empregar para obter ternos pitagóricos, que é o seguinte: tomam-se dois números naturais m e n, com m > n, e faz-se:

a = m2 – n2.  ,    b = 2mn   e    c = m2 + n2.

Com este método temos uma infinidade de ternos pitagóricos de uma só vez. Por exemplo, com m = 2 e n = 1 obtém-se o clássico terno formado por 3, 4 e 5. E se se tomar m = 3 e n = 1? Aí obtemos o terno formado por 6, 8 e 10… o qual não é mais do que o dobro do terno anterior. Isto leva à seguinte questão (que já foi abordada na rubrica anterior): o que é que devemos fazer se só estivermos interessados em obter ternos pitagóricas que não sejam múltiplos de outros ternos pitagóricos? Por outras palavras: o que é que devemos fazer se só quisermos ternos pitagóricos nos quais os três números envolvidos não têm nenhum factor comum? Esses ternos pitagóricos chamam-se ternos pitagóricos primitivos.

Para começar, como é natural, escolhem-se m e n de modo a serem primos entre si. Isto é uma escolha, natural, pois se m e n tiverem um divisor comum d > 1, então d divide os números m2 – n2, 2mn e m2 + n2.

Só que isto não basta, como se viu no exemplo em que se tomou m = 3 e n = 1. De facto, basta apenas mais uma coisa (para além da condição já enunciada no primeiro parágrafo de que m > n): que m e n não sejam ambos pares nem ambos ímpares.

Assim, se se tomar m = 3 e n = 2 (estes números estão nas condições descritas), obtém-se o terno pitagórico formado por 5, 12 e 13.

A partir desta caracterização dos ternos pitagóricos primitivos, podem-se extrair imensas consequências. Eis algumas, cujas demonstrações ficam como um desafio para o leitor (em cada caso, a e b são os catetos de um terno pitagórico primitivo e c é a hipotenusa):

•    (c – a)(c – b) é sempre o dobro de um quadrado perfeito;
•    dos números a e b, um é par e o outro é ímpar; c é ímpar;
•    dos números a e b, há um e um só que é múltiplo de 3 e há um e um só que é múltiplo de 4
•    dos números a, b e c, há um e um só que é múltiplo de 5.
•    o número abc é múltiplo de 60 e 60 é o menor número com esta propriedade.

Publicado/editado: 21/04/2018