Onde Estás Matemática? por José Luís de Gouveia Freitas - Emblemas nas capas negras

 

Começo por desejar o maior sucesso académico aos alunos inscritos num curso superior, pois será mais um desafio a superar a todos os níveis e com maior impacto devido a vivermos numa situação de pandemia por causa do Covid – 19.

 

Os alunos ao ingressarem no Ensino Superior, são recebidos pelos alunos trajados a rigor na instituição onde irão passar os próximos tempos de estudo, durante três ou cinco anos, conforme a quantidade de cadeiras do curso.  Um dos elementos caraterísticos do traje académico é a capa negra, cujo formato geométrico é conhecido por setor de coroa circular (ver figura 1), na qual são cosidos diversos emblemas cuja disposição é definida pela Comissão de Praxe de cada universidade.

 

 

Uma das regras curiosas na colocação dos emblemas nas capas é a seguinte: para dar sorte devem ser colocados em número ímpar de linhas e o seu total deve ser ímpar (ver figura 2). Esta regra parece ser comum ao Código de Praxe de cada instituição de Ensino Superior e na pesquisa efetuada observei algumas nuances na redação do texto relativo à colocação dos emblemas. 

 

Ao ler a regra acima citada, temos o primeiro pormenor matemático: qual é o tipo de linha a respeitar na colocação dos emblemas, pois pensamos em colocar os emblemas segundo uma linha vertical ou horizontal. Se considerarmos as linhas oblíquas com declive 1 ou -1, então será possível ter uma distribuição dos emblemas com número ímpar em todas as linhas? Deixo os leitores com este desafio! 

 

Algo peculiar é a noção de sorte ao conceito de número ímpar, ou seja, um estudante universitário terá mais sucesso no curso se na sua capa só colocar número ímpar de emblemas?! Perante esta regra do número ímpar, coloca-se a seguinte dúvida: qual será o maior número de emblemas possíveis de colocar numa capa estudantina?  Para poder dar resposta à questão acima colocada, teremos de saber as dimensões da capa universitária, o tamanho dos emblemas, a medida de espaçamento entre dois emblemas, e das regras de colocação dos emblemas. Deixo os leitores, a pensar neste problema.

 

O total de emblemas por ser número ímpar, terá de ser decomposto, em adição de número ímpar de parcelas ímpares. Por exemplo, 13 poderá ser escrito da seguinte forma 1 + 3 + 5 + 3 + 1, somente numa adição é comutativa podemos trocar a ordem das parcelas e obter o mesmo valor 13, mas a distribuição geométrica dos emblemas é totalmente diferente como é ilustrado na figura 3.

 

 

A contagem de todas as distribuições dos 13 emblemas, consiste em resolver um caso particular da teoria dos números, conhecido por partições de um número natural, resolvido pelo matemático indiano Srinivāsa Aiyangār Rāmānujan (1887 – 1920) quando trabalhou com o professor Godfrey Harold Hardy (1877 – 1947), na Universidade de Cambridge.

 

Os alunos com Matemática A de 12º ano, podem resolver este problema de contagem, usando técnicas de Combinatória e deixo os leitores, obter a resposta de quantas distribuições há com 13 emblemas. Fico à espera das vossas resoluções com saudações matemáticas!

 

Notas: 

1 – No filme “O homem que viu o infinito”, poderão ver a referência ao desafio colocado a Ramanujan sobre partições pelo professor no instante 1:07:11 em https://www.youtube.com/watch?v=VrymqW5ElKU.

2 – Podemos obter o número de partições de um número natural de 1 a 10 000, no site http://www.numbertheory.org/php/partition.html.

3 - A instrução PartitionsP[n] determina o número de partições de um número natural, na linguagem Wolfram. 

O valor de PartionsP[200] é 3 972 999 029 388, tendo sido o valor apresentado pelo matemático Ramanujan quando desafiado pelo Major Mac Namarow, para obter uma fórmula geral das partições de um número. 

4 – Para quem desejar saber mais sobre partições, poderá ler o artigo sobre a fórmula Hardy – Ramanujan – Rademancher.