(U)Ma Temática Elementar por José Carlos Santos - Menos por menos dá mais

Eixos de Opinião de novembro de 2018

Título: Menos por menos dá mais

Uma das perguntas mais básicas e elementares que os professores de Matemática ouvem é esta: porque é que «menos por menos dá mais»? Vou dar uma explicação informal. Outra, mais formal, ficará para o próxima mês.

A mais antiga aplicação dos números negativos consiste em dívidas. Ou seja: se se diz que uma pessoa tem que pagar uma quantidade negativa a outra pessoa, o que isso significa é que, de facto, a segunda tem uma dívida para com a primeira. Isto surge pela primeira vez nos Nove capítulos da Arte Matemática, um texto chinês do século II. Levou mais de um milénio até que os números negativos chegassem à Europa (pela mão de Fibonacci), e foi novamente sob esta forma.

Sendo assim, vamos supor que uma pessoa paga a outra uma quantia a num dia, uma quantia b no dia seguinte e uma quantia c no dia a seguir a esse. Quanto é que pagou no total? A resposta é simples: pagou a + b + c. Aqui, os números envolvidos podem ser positivos ou negativos.

Mas a ideia da multiplicação é ser uma adição repetida. Sendo assim, considere-se agora a possibilidade de se ter c = b = a. Qual é resposta agora? É 3×a. Se a for positivo (ou seja, se a primeira pessoa efectivamente pagou à segunda), então isto tem que ser um número positivo (o resultado de três pagamentos é um pagamento). Mas se a for negativo, ou seja, se foi, de facto, a segunda pessoa a pagar à primeira, isto tem que ser negativo (o resultado de três pagamentos da segunda pessoa à primeira é um pagamento da segunda à primeira).

Isto já explica porque é que mais por menos dá menos. Mas não foi essa a pergunta de que partimos.

Vejamos outra utilidade dos números negativos: contagem do tempo. Da mesma maneira que podemos dizer que uma coisa acontece daqui a 3 dias, podemos dizer que acontece daqui a – 2 dias, querendo isto dizer que aconteceu anteontem. Isto tem uma utilidade prática: se eu faço um pagamento de a euros todos os dias durante n dias, o total pago será n×a, quer n seja positivo quer seja negativo. E o a também pode ser negativo. Assim, se eu disser que paguei – 15 € a uma pessoa por 4 dias consecutivos, isso significa que, ao fim desses quatro dias, essa pessoa me pagou a mim 4 × 15€ = 60 €. O que bate certo com o facto de se ter 4 × (–15) = – 60.

E agora vamos finalmente ao cerne da questão. Se eu pagar regularmente –15 € a outra pessoa todos os dias (o que, de facto significa que essa pessoa me paga a mim 15 € todos os dias), quanto dinheiro é que eu lhe passei para as mãos nos últimos 5 dias? A resposta é (–5) × ( –15 €), ou seja 75 €. O que, mais uma vez, bate certo: se fossem os próximos 5 dias a resposta teria que ser negativa (nesses dias, essa pessoa passa-me dinheiro a mim  e não ao contrário), mas como isto se refere aos últimos 5 dias, a resposta tem que ser positiva (e teria que ser negativa se fosse eu a pagar à outra pessoa).

No próximo mês, abordaremos o problema de uma maneira mais formal.

Publicado/editado: 21/11/2018