Se e Só Se por José Carlos Pereira - Cinco Problemas Para as Férias

Eixos de Opinião de Julho de 2022

José Carlos Pereira - Professor de Matemática. Autor de Livros Escolares. Responsável pelo Site Recursos para Matemática e Autor do Canal no Youtube – MathSuccess Fátima (Ler +)


Título: Cinco Problemas Para as Férias

Para terminar mais um ano de “Se e Só Se” deixo-vos cinco problemas para as férias. Quatro, o de Lógica, o de Cálculo, o de Probabilidades e o de Álgebra, estes dois adaptados, são problemas do mundialmente famoso Brilliant, já muitas vezes referido neste espaço. O de Combinatória é uma repetição, mas como o acho muito bonito, não resisti em o incluir neste texto.

Problema de Lógica

O Pedro, o João, o Francisco e o António foram os quatro primeiros classificados de uma corrida. 

Ordene os quatro sabendo que o Pedro chegou à meta antes do João, o Francisco não foi o terceiro classificado e entre o João e o António chegaram dois corredores. 

Problema de Álgebra

Na figura estão representadas três balanças com esferas, cones e cubo, representados por círculos, triângulos equiláteros e quadrados, respectivamente. 

Os sólidos do mesmo tipo são iguais. As duas primeiras balanças estão equilibradas. 

Sem usar cones, o que se pode colocar no prato vazio da terceira balança de modo a que esta fique equilibrada? Existe apenas uma solução?

Problema de Combinatória

A figura representa um botão com cinco buracos. 

Para coser o botão à camisa é necessário ligar por uma linha pelo menos dois dos seus buracos, como exemplificado nas quatro figuras seguintes:

De quantas maneiras distintas é possível coser o botão?

Comece com o caso em que o botão tem três buracos, depois com o caso em que tem quatro e tente generalizar para o caso em que o número de buracos é n, sendo n um número natural.

Problema de Probabilidades

Na figura estão representadas quatro caixas cada uma contendo três moedas de ouro e/ou prata. As moedas de outro estão representadas a amarelo e as de prata a cinzento. 

Considere a experiência aleatória que consiste em escolher ao acaso uma das caixas e em seguida retirar, sucessivamente e sem reposição, duas moedas da caixa escolhida sem olhar para o seu conteúdo.

1. Qual é a probabilidade de a segunda moeda retirada ser de prata, sabendo que a primeira foi de prata?

2. Qual é a probabilidade de a primeira moeda retirada ser de prata, sabendo que a segunda foi de prata?

3. Responda agora às duas questões anteriores, mas considerando que a caixa é escolhida da seguinte forma: lança-se um dado equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6 e considera-se o número da face que fica voltada para cima. Se sair a face com o número 1 escolher-se a caixa 1; se sair face com o número 2 escolhe-se a caixa 2; se sair face com o número 3 escolhe-se a caixa 3; se sair face com os números 4, 5 ou 6, escolhe-se a caixa 4. 

Problema de Cálculo

Considera a seguinte figura onde está representado um quadrado de lado 2 com uma circunferência inscrito no quadrado e em que se pintou a laranja a área entre as duas figuras geométricas. 

Suponha agora que, recursivamente, se inscreve na circunferência interior uma versão reduzida desta figura. A seguir encontram-se as três figuras seguintes desta sequência de figuras:

Se este procedimento se repetir indefinidamente, qual será a área total a laranja? 

As soluções destes problemas serão dadas nos próximos textos. Até lá, o leitor pode enviar as suas resoluções para jc.dasilvapereira@gmail.com.

O “Se e Só Se” regressa em Setembro. 

Publicado/editado: 04/07/2022