Se e Só Se por José Carlos Pereira - Combinatória. Conclusão.

Eixos de Opinião de Dezembro de 2021

José Carlos Pereira - Professor de Matemática. Autor de Livros Escolares. Responsável pelo Site Recursos para Matemática e Autor do Canal no Youtube – MathSuccess Fátima (Ler +)


Título: Combinatória. Conclusão.

No final do último texto deixei duas questões cujo objectivo era o de estimular o leitor a usar as ideias sobre cálculo combinatório descritas nos parágrafos anteriores.  

As questões que servirão de âncora ao artigo deste mês, são as seguintes:

“Suponha que temos os mesmos quatro homens e as mesmas seis mulheres, mas que agora se vão sentar num banco corrido de catorze lugares.

1. De quantas maneiras distintas se podem sentar de modo que não haja homens em posições consecutivas? (basta haver um lugar vazio entre dois homens para se considerar que não estão sentados em posições consecutivas)

2. De quantas maneiras distintas se podem sentar, de modo que entre quaisquer dois homens haja pelo menos dois lugares, podendo estes ser ocupados, ou não, por uma mulher?”

Para resolver a questão 1 podemos aplicar a primeira ideia referida nesse texto: 

“Quem ou o quê não pode ocupar posições consecutivas, tem, necessariamente, de ocupar posições entre as restantes pessoas (ou objectos) ou ocupar posições nas pontas.” 

A primeira dificuldade reside no facto de termos dez pessoas e o banco ter catorze lugares, o que quer dizer que quatro desses lugares ficarão, necessariamente, vazios. Como podemos então contornar esta dificuldade de modo a aplicar essa primeira ideia? Encarando os quatro lugares que ficam vazios como separadores, isto é, teríamos dez separadores, em que apenas seis ficariam ocupados por mulheres, algo deste tipo:

Depois de feito o esquema, a resolução é semelhante às anteriores: os homens podem ocupar onze posições, as nove entre os dez separadores mais as duas nas pontas. Dessas onze escolhem-se quatro, o número de maneiras de o fazer é 11C4. Para cada uma destas maneiras, os homens permutam de 4! maneiras distintas nas quatro posições escolhidas. Portanto, os homens podem organizar-se de 11C4×4! maneiras distintas, ou, se quiser, de 11A4 maneiras distintas (11C4×4! = 11A4). Finalmente, das dez posições restantes, escolhem-se seis para as mulheres, o número de maneiras de o fazer é 10C6, permutando-as depois nas seis posições escolhidas, que pode ser feito de 6! maneiras distintas. Assim, as mulheres podem organizar-se de 10C6×6! = 10A6 maneiras distintas.

Logo, uma resposta a este problema é 11C4×4!×10C6×6!  ou 11A4×10A6.

Pela segunda abordagem descrita no texto: as posições que ficam imediatamente a seguir aos três primeiros homens estão interditas a estes. Significa então que das catorze posições é como se apenas onze (14 – 3 = 11) estivessem disponíveis para serem ocupadas por homens: 

Mais uma vez, depois de determinarmos o número de posições que os homens podem ocupar, o raciocínio é o mesmo: escolher quatro das onze posições para os homens, 11C4; permutar os quatro homens nessas quatro posições escolhidas, 4!; escolher seis das restantes dez posições para as mulheres, 10C6 e, por fim, permutar as mulheres nessas seis posições escolhidas, 6!. 

Para solucionar problemas como o da pergunta 2, usualmente uso este segundo processo, parece-me o mais adequado. Neste caso, as duas posições que ficam imediatamente a seguir aos três primeiros homens estão interditas a estes, ou seja, das catorze posições, apenas oito (14 – 3×2 = 8) poderão ser ocupadas por homens:

Agora é igual ao anterior: escolher quatro das oito posições para os homens, 8C4; permutar os quatro homens nessas quatro posições escolhidas, 4!; escolher seis das restantes dez posições para as mulheres, 10C6 e, por fim, permutar as mulheres nessas seis posições escolhidas, 6!. Logo, uma resposta à segunda pergunta é 8C4×4!×10C6×6!  ou 8A4×10A6.

No futuro voltarei certamente à Combinatória e a outras classes de problemas que considero interessantes. Até poderei voltar aqui, se porventura encontrar outros processos de resolução que para mim sejam desconhecidos até agora.  

Para finalizar deixo novamente as ligações para os restantes textos do “Se e Só Se” relacionados com Combinatória: 

Combinatória e Ainda a Combinatória

Um Problema de Combinatória para as Férias e A Resolução Prometida...;

Rodando e Permutando - Parte I e Parte II;

Sobre os Termos do Binómio de Newton;

Eu Não Jogo No Euromilhões!;

Quadrados e Mais QuadradosA Continuação e A Conclusão.

Boas festas

Publicado/editado: 03/12/2021