Se e Só Se por José Carlos Pereira - Combinatória. Novamente.

Eixos de Opinião de Novembro de 2021

José Carlos Pereira - Professor de Matemática. Autor de Livros Escolares. Responsável pelo Site Recursos para Matemática e Autor do Canal no Youtube – MathSuccess Fátima (Ler +)


Título: Combinatória. Novamente.

Esta não é a primeira vez que escrevo no “Se e Só Se” sobre Combinatória. Quem me conhece sabe que este é um dos temas que mais gosto de ensinar.

Estou sempre a tentar encontrar novas formas de contar ou de abordar os vários tipos de problemas com que somos confrontados.  

Desta vez vou escrever sobre uma classe de problemas que levantam sempre muitas dúvidas a alunos e professores. Para tal vou apoiar-me num exemplo concreto:

"De quantas maneiras podemos organizar uma única fila de dez pessoas, seis mulheres e quatro homens de modo que não haja homens em posições consecutivas?"

Muitas vezes o primeiro pensamento é ir pelo acontecimento contrário, mas quase sempre essa é uma má opção. O contrário do acontecimento «não haver duas "coisas" – que podem ser homens, mulheres, objectos, etc... – em posições consecutivas» não é, à excepção do caso em que só há duas coisas, «as "coisas" em posições consecutivas».

A ideia para resolver questões deste tipo é sempre a mesma: quem ou o quê não pode ocupar posições consecutivas, tem, necessariamente, de ocupar posições entre as restantes pessoas (ou objectos) ou ocupar posições nas pontas. No caso do problema enunciado acima seria algo como o seguinte:

Assim, os homens podem ocupar sete posições, as cinco entre as seis mulheres mais duas nas pontas. Dessas sete escolhem-se quatro, o número de maneiras de o fazer é 7C4. Para cada uma destas maneiras, os homens permutam de 4! maneiras distintas nas quatro posições escolhidas. Portanto, os homens podem organizar-se de 7C4×4! maneiras distintas, ou, se quiser, de 7A4 maneiras distintas (7C4×4! = 7A4). Finalmente, as mulheres permutam de 6! maneiras distintas nas suas seis posições.

Logo, uma resposta a este problema é 7C4×4!×6! ou 7A4×6!.

Uma outra maneira de abordar este problema é pensar que as posições que ficam imediatamente a seguir aos três primeiros homens nunca podem ser ocupadas por homens, estão interditas a estes. Portanto, na verdade, das dez posições é como se apenas sete (10 – 3 = 7) estivessem disponíveis para serem ocupadas por homens. 

Depois de determinarmos o número de posições que os homens podem ocupar, o raciocínio é o mesmo: escolher quatro das sete posições, 7C4; permutar os quatro homens nessas quatro posições escolhidas, 4!, e, por fim, permutar as mulheres nas restantes seis posições, 6!. 

Quase a terminar, deixo duas questões para o leitor:

Suponha que temos os mesmos quatro homens e as mesmas seis mulheres, mas que agora se vão sentar num banco corrido de catorze lugares. 

1. De quantas maneiras distintas se podem sentar de modo que não haja homens em posições consecutivas? (basta haver um lugar vazio entre dois homens para se considerar que não estão sentados em posições consecutivas)

2. De quantas maneiras distintas se podem sentar, de modo que entre quaisquer dois homens haja pelo menos dois lugares, podendo estes ser ocupados, ou não, por uma mulher? 

Estas questões servirão de âncora para o próximo texto. 

Para finalizar deixo as ligações para os restantes textos do “Se e Só Se” relacionados com Combinatória: 

Combinatória e Ainda a Combinatória

Um Problema de Combinatória para as Férias e A Resolução Prometida...;

Rodando e Permutando - Parte I e Parte II;

Sobre os Termos do Binómio de Newton;

Eu Não Jogo No Euromilhões!;

Quadrados e Mais Quadrados, A Continuação e A Conclusão.

 

Publicado/editado: 03/11/2021