Título: Começar o Ano Com Um Problema Geométrico
O leitor assíduo do “Se e Só Se” já sabe que sou seguidor do Brilliant e conhece também o meu gosto especial por problemas geométricos, em particular, aqueles que envolvem áreas.
Este mês quero partilhar consigo mais um problema geométrico do Brilliant de que gostei muito, com ligações a outros problemas.
O enunciado, cujo original pode ser consultado aqui, é o seguinte:
A medida dos comprimentos dos lados do triângulo da figura são 3, 4 e 5.
Os arcos da figura são semi-círculos.
Qua é a medida da área a azul da figura?
A minha primeira tentativa para resolver este problema foi a de procurar uma resolução puramente geométrica, sem palavras, de modo a “transformar” a área a azul numa figura “familiar”. Apesar de vários esforços, não consegui. Virei-me então para a Álgebra e, usando o princípio da inclusão exclusão, enunciado pela primeira vez pelo matemático português, Daniel da Silva, acabei por conseguir.
Sugiro agora que o leitor interrompa aqui a leitura deste texto para tentar resolver o problema.
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Se ainda não conseguiu, tente mais um pouco.
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O triângulo é rectângulo, pois 52 = 32 + 42, pelo que a área do semi-círculo maior é igual à soma das área dos dois semi-círculos menores:
Considere-se agora a seguinte figura, onde designo por letras as áreas das diferentes regiões:
Pretendemos então determinar o valor de A + C + F e para tal vamos usar o princípio da inclusão exclusão. Somando duas vezes a área do triangulo com a área do semi-círculo maior ficamos com:
Mas para ficarmos apenas com A + C + F temos de retirar A + 2B + C + D + E = (A + B + D) + (B + C + E), que corresponde exactamente à soma das áreas dos dois semi-círculos menores, e portanto:
Surpreendentemente, a área a azul é igual à área de um rectângulo de lados 3 e 4! Este facto fez-me voltar às tentativas que fiz para solucionar o problema sem palavras, isto é, com uma resolução puramente geométrica. Continuo sem conseguir, mas já conheço uma, dada pelo professor Pedro Freitas. Depois de ter estado a conversar com ele, “descobri” que o facto de a área a azul ser igual à área de um rectângulo de lados 3 e 4 não é assim tão surpreendente.
Voltarei a este problema no próximo artigo. Nele partilharei a resolução do professor Pedro Freitas e espero também poder partilhar a minha “resolução sem palavras”.
Como estamos no início do ano, desejo a todos os leitores um cheio de sucessos a todos os níveis.
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