Se e Só Se por José Carlos Pereira - Começar o ano com um Problema Geométrico

Eixos de Opinião de janeiro de 2019

Título: Começar o Ano Com Um Problema Geométrico

O leitor assíduo do “Se e Só Se” já sabe que sou seguidor do Brilliant e conhece também o meu gosto especial por problemas geométricos, em particular, aqueles que envolvem áreas.  

Este mês quero partilhar consigo mais um problema geométrico do Brilliant de que gostei muito, com ligações a outros problemas. 

O enunciado, cujo original pode ser consultado aqui, é o seguinte:

A medida dos comprimentos dos lados do triângulo da figura são 3, 4 e 5. 

Os arcos da figura são semi-círculos.   

Qua é a medida da área a azul da figura?

A minha primeira tentativa para resolver este problema foi a de procurar uma resolução puramente geométrica, sem palavras, de modo a “transformar” a área a azul numa figura “familiar”. Apesar de vários esforços, não consegui. Virei-me então para a Álgebra e, usando o princípio da inclusão exclusão, enunciado pela primeira vez pelo matemático português, Daniel da Silva, acabei por conseguir. 

Sugiro agora que o leitor interrompa aqui a leitura deste texto para tentar resolver o problema.

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Se ainda não conseguiu, tente mais um pouco. 
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O triângulo é rectângulo, pois 52 = 32 + 42, pelo que a área do semi-círculo maior é igual à soma das área dos dois semi-círculos menores:

                                                 

Considere-se agora a seguinte figura, onde designo por letras as áreas das diferentes regiões:

Pretendemos então determinar o valor de A + C + F e para tal vamos usar o princípio da inclusão exclusão. Somando duas vezes a área do triangulo com a área do semi-círculo maior ficamos com:

Mas para ficarmos apenas com A + C + F temos de retirar A + 2B + C + D + E = (A + B + D) + (B + C + E), que corresponde exactamente à soma das áreas dos dois semi-círculos menores, e portanto:

Surpreendentemente, a área a azul é igual à área de um rectângulo de lados 3 e 4! Este facto fez-me voltar às tentativas que fiz para solucionar o problema sem palavras, isto é, com uma resolução puramente geométrica. Continuo sem conseguir, mas já conheço uma, dada pelo professor Pedro Freitas. Depois de ter estado a conversar com ele, “descobri” que o facto de a área a azul ser igual à área de um rectângulo de lados 3 e 4 não é assim tão surpreendente.

Voltarei a este problema no próximo artigo. Nele partilharei a resolução do professor Pedro Freitas e espero também poder partilhar a minha “resolução sem palavras”. 

Como estamos no início do ano, desejo a todos os leitores um  cheio de sucessos a todos os níveis. 

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Publicado/editado: 03/01/2019