Se e Só Se por José Carlos Pereira - Conjeturando
Eixos de Opinião de maio de 2018
Título: Conjecturando
A conjectura matemática é uma afirmação que não se provou ser verdadeira. Quando são provadas, passam à categoria de teoremas, de verdades absolutas!
As melhores conjecturas dão origem a ramos completos da Matemática e muitas vezes mobilizam matemáticos de todo o mundo para mostrar, ou não, a sua veracidade. Um bom exemplo desta classe de conjecturas é a que ficou conhecida como “O Último Teorema de Fermat". Foi formulada por Pierre de Fermat em 1637 e resistiu, durante mais de 350 anos, a todas as tentativas de demonstração. Só em 1995 caiu aos pés de Andrew Wiles que, após muitos anos de trabalho, elevou-a à categoria de teorema e elevou-se a si mesmo ao Olimpo da Matemática.
Há neste momento muitas conjecturas em aberto, que podem ser encontradas aqui e aqui. Algumas, caso sejam solucionadas, dão acesso a verdadeiras fortunas. Se o leitor quiser ter acesso a uma dessas fortunas pode tentar resolver uma delas.
As conjecturas podem ser instrumentos valiosos na resolução de problemas, tanto no ensino básico e como no ensino secundário. Naturalmente que serão conjecturas bem mais modestas do que as anteriores, mas nem por isso menos úteis para o fim a que se destinam. As que enuncio nos próximos parágrafos pertencem a essa categoria.
O leitor mais assíduo saberá que gosto muito do Brilliant. Os últimos dois artigos tiveram como base alguns problemas propostos por esta plataforma. Há dias deparei-me com mais um que passo a reproduzir:
A medida do lado do quadrado é 12 e a medida da área a azul é 12. Qual é a área da região a amarelo?
A versão original pode ser consultada aqui.
A primeira coisa que reparamos neste problema é que não é dito nada sobre os pontos que estão sobre os lados do quadrado, levando-nos a pensar que a medida área da região a amarelo é independente da posição desses pontos, desde que a medida da área da região a azul seja 12 – ao pensarmos isto, estamos, de certa forma a conjecturar: a medida da área a amarelo é independente da posição dos pontos que estão sobre os lados do quadrado.
De facto é mesmo independente.
Antes de pensar numa qualquer resolução, recorri a um programa de Geometria Dinâmica para modelar a situação e assim conjecturar qual seria a solução do problema. Fiz várias tentativas e os resultados a que chegava evidenciavam uma tendência, que está espelhada nos dois exemplos seguintes:
Todas as simulações conduziam ao valor 48 para a medida da área a amarelo. Fiquei perfeitamente convencido. Conjecturei então que o valor da medida da área a amarelo era 48 e em seguida provei-o analiticamente.
Este é um tipo de abordagem pode ser utilizada com os nossos alunos para resolver um vasto conjunto de problemas. Conjecturar uma solução para um problema, após investigar sobre o mesmo é algo muito enriquecedor e facilita a descoberta de uma resolução. Investigar e conjecturar são dois aspectos muito importantes no processo ensino-aprendizagem em Matemática.
Convido o leitor a tentar chegar a uma resolução analítica deste problema. A minha será revelada no próximo artigo onde demonstrarei as duas “conjecturas” que enunciei sobre este problema.
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