Se e Só Se por José Carlos Pereira - Continuar o Ano Com Uma Resolução Sem Palavras

Eixos de Opinião de fevereiro de 2019

Título: Continuar o Ano Com Uma Resolução Sem Palavras

No último artigo do “Se e Só Se” partilhei um problema geométrico do Brilliant. Este mês, como prometi, volto a ele. 

Começo por recordar o problema:

A medida dos comprimentos dos lados do triângulo da figura são 3, 4 e 5. 

Os arcos da figura são semi-círculos.   

Qual é a medida da área a azul da figura?

Depois de o tentar resolver com uma abordagem puramente geométrica, uma resolução sem palavras, e de não o ter conseguido, virei-me para a Álgebra e a solução, surpreendente, revelou-se: a área sombreada a azul é igual à área de um rectângulo 3 por 4!

Voltei então às minhas tentativas de solucionar o problema geometricamente, mas a verdade é que (ainda) não consegui! Assim sendo, daqui a umas linhas, irei partilhar apenas a solução do professor Pedro Freitas, mas não sem antes lhe dedicar uma breve referência biográfica.  

O professor Pedro Freitas é um matemático da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa. Entre os seus vários interesses e ocupações, é dirigente da LUDUS, uma associação que tem como objectivo divulgar a Matemática em todas as suas vertentes, e é um dos membros do Circo Matemático (um dos episódios do magazine “Isto é Matemática” foi precisamente sobre o CM). Em conjunto com Simão Palmeirim tem um trabalho interessantíssimo sobre os desenhos geométricos de Almada Negreiros. Algum desse trabalho está compilado num dos livros da colecção “Leituras em Matemática” editada pela SPM – Livro de Problemas de Almada Negreiros.    

A resolução sem palavras dada pelo professor Pedro Freitas é a seguinte:

 

No caso de a última igualdade da segunda linha não ser clara para o leitor, relembre a justificação que dei no primeiro artigo para o facto de a área do semi-círculo maior ser igual à soma das áreas dos dois semi-círculos menores.

É surpreendente, a área sombreada a azul transforma-se num rectângulo 3 por 4 cuja área é 12. E mais, este resultado é independente das medidas, isto é, se o triângulo inscrito na circunferência for rectângulo, a área a sombreada a azul é sempre igual à área do rectângulo cujas medidas dos seus lados são iguais às medidas dos lados dos catetos do triângulo. 

É uma resolução belíssima! 

Este problema tem ligações às Lúnulas de Hipócrates, sobre as quais o convido a ler este artigo do professor José Carlos Santos aqui no “Eixos de Opinião” e a espreitar uma demostração sem palavras do teorema (sobre Lúnulas):  

“Se um quadrado está inscrito num círcunferência e se se construírem quadro semi-círculos sobre os seus lados, então a área das quatro lúnulas é igual à área do quadrado.” 

Termino com um agradecimento ao professor Pedro Freitas pela autorização para publicar a sua resolução e pela conversa que tivemos e que me ajudou a escrever estes dois textos. 

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Publicado/editado: 03/02/2019