Se e Só Se por José Carlos Pereira - Duas Resoluções (Quase) Sem Palavras.

Eixos de Opinião de outubro de 2018

Título: Duas Resoluções (Quase) Sem Palavras.

Quem lê regularmente os meus textos sabe que aprecio resoluções simples. Já partilhei neste espaço muitas resoluções que me surpreenderam pela sua simplicidade e beleza. 

No último artigo deixei para o leitor a tentativa de solucionar dois problemas utilizando, de preferência, argumentos geométricos. As duas resoluções que apresento a seguir pertencem à classe das simples e belas. 

Para o primeiro problema dividi simplesmente o hexágono regular em 36 partes iguais, visto que um hexágono regular pode ser decomposto em seis triângulos equiláteros iguais e cada um deles pode ser decomposto em seis triângulos rectângulos iguais:

Como a região sombreada da figura ocupa duas dessas partes e como a área do hexágono é 1, concluímos que a área da região sombreada é:

Haverá resolução mais simples e bela que esta? Não acredito que exista. 

Já em relação ao segundo problema, foi um pouco mais complicado chegar a uma resolução que eu considerasse merecedora de ser incluída na classe das simples e belas. De facto, eu não encontrei uma resolução com essas características, apesar de o ter conseguido resolver com alguma facilidade. Foi a autora da partilha que apresentou aquela que eu considero a ser a melhor proposta, utilizando quase exclusivamente argumentos geométricos.  

À representação geométrica que a Maria Almada, autora da partilha deste problema, apresentou, acrescentei os segmentos de recta a traço mais fino. 

Os seis triângulos representados são equiláteros de lado raíz quadrada de 2. Se o leitor reparar, a área da região a sombreado corresponde exactamente à área de dois destes triângulos equiláteros. 

Recorrendo ao teorema de Pitágoras ou a trigonometria básica determina-se a medida da altura de um desses triângulos, que é  raíz quadrada de 6 a dividir por 2, pelo que a medida da área da região sombreada é:

Convido-o o leitor a deixar o seu comentário a este artigo na página do Facebook do Clube SPM. 

Publicado/editado: 03/10/2018