Se e Só Se por José Carlos Pereira - Matemática no WhatsApp
Eixos de Opinião de Março de 2022
José Carlos Pereira - Professor de Matemática. Autor de Livros Escolares. Responsável pelo Site Recursos para Matemática e Autor do Canal no Youtube – MathSuccess Fátima (Ler +)
Título: Matemática no WhatsApp
O WhatsApp tornou-se, nos últimos anos, essencial na comunicação com os meus alunos. É a ferramenta preferencial que utilizamos para esclarecer dúvidas quando não estamos em aula, e seu uso aumenta exponencialmente na época de testes.
Num sábado, após o almoço, estava eu no meu sofá, quando uma aluna me envia a seguinte mensagem:
“Boa tarde professor. Desculpe estar a incomodar, mas como é que se faz este exercício?”
O exercício pedia para determinar o número de divisores naturais do número 2310.
Usualmente, numa situação destas, quando sei que o aluno que me questionou tem um conhecimento sólido sobre o tema da pergunta, respondo com uma resolução, pois sei que terá uma boa probabilidade de ser percebida pelo aluno. Também é uma maneira de verificar até que ponto os conhecimentos estão efectivamente solidificados – se não perceber a resolução pode ser sinal que ainda há arestas a limar. Acontece que neste caso, os conhecimentos da aluna sobre Combinatória, o tema em que se insere a pergunta, ainda estavam numa fase embrionária. Tínhamos começado a estudá-lo há apenas alguns dias e, como tal, dar-lhe a resolução não iria adiantar nada, pelo contrário, provavelmente iria confundi-la. Apesar de belo – opinião muito própria – este é um tema difícil e cuja progressão tem de ser estruturada e cimentada ao longo do processo de aprendizagem.
A conversa prosseguiu então mais ou menos da forma que a seguir descrevo:
– Decompõe 2310 em factores primos.
– Já o fiz. Mas agora não sei o que fazer.
– O que tem de acontecer para que um número seja divisor de 2310?
– Não estou a ver.
– Qual é a decomposição em factores primos de 2310?
– 2310 = 2×3×5×7×11
– Ou seja, os divisores de 2310 são da forma 2^k×3^n×5^m×7^p×11^r. Certo?
– Sim.
– Por exemplo 2×3×11 é divisor de 2310, certo?
– Sim.
– Neste caso, 2×3×11, pelo que k = 1, n = 1, m = 0, p = 0 e r = 1, certo?
– Sim.
– Ou seja, 2×3×11 = 2^1×3^1×5^0×7^0×11^1
– Então isso quer dizer que 2310 = 2^1×3^1×7^1×11^1×5^1?
Aqui ainda não tinha entendido muito bem para onde eu a pretendia conduzir. Apesar disso, e continuei:
– Então, para 2^k×3^n×5^m×7^p×11^r ser divisor de 2310, que valores podemos atribuir a k, m, m, p e r?
– 1 a todos.
Ainda estava fixada no que tinha escrito, 2310 = 2^1×3^1×7^1×11^1×5^1. Aproveitei a sua resposta e perguntei:
– E 0?
– Também.
– Por exemplo, se forem todos 0, obtemos um divisor de 2310? Que divisor?
– O 1.
– Então, quantos divisores naturais tem 2310? k pode tomar quantos valores? E n? E m? E p? E r?
– Cada um deles pode tomar dois valores, 0 e 1.
– Logo, quantos são os divisores naturais de 2310?
– São 2×2×2×2×2 = 32.
Aqui percebi que a aluna estava a chegar ao que se pretendia. Para ter a certeza, disse-lhe que a resposta era mesmo 32 e perguntei-lhe logo de seguida que no caso de ser o número 3600, qual seria a resposta, isto é, quantos são os divisores naturais de 3600? Seguiram-se dois ou três breves minutos de “silêncio” até nova mensagem:
– 45?
– Como fizeste? Perguntei.
– Decompus o 3600 em factores primos e obtive 3600 = 2^4×3^2×5^2
– Então, os divisores naturais de 3600 são de que forma?
– 2^k×3^n×5^m.
– Portanto, quantos valores pode tomar k? E n? E m?
– O k pode tomar cinco valores, (0,1,2,3,4), o n pode tomar três valores, (0,1,2), e o m também três (0,1,2) e depois é só aplicar o Princípio da Multiplicação.
– Isso mesmo!
– Obrigada professor, já entendi!
Tinha valido a pena o tempo gasto na troca de mensagens. Mais do que uma resposta, tentei conduzir a minha aluna à resposta e, dessa forma, tornar a aprendizagem significativa. Não foi uma descoberta autónoma dela, mas o nosso trabalho enquanto professores também é o de orientar e, muitas vezes, dar um empurrãozinho com a intensidade certa para que os alunos consigam alcançar o que à partida parecia uma impossibilidade. Fiquei com a convicção que a minha aluna tinha de facto entendido. Pude confirmá-lo na aula seguinte.