Se e Só Se por José Carlos Pereira - Quadrados e Mais Quadrados

Eixos de Opinião de Janeiro de 2020

José Carlos Pereira - Professor de Matemática. Autor de Livros Escolares. Responsável pelo Site Recursos para Matemática.(Ler +).


Título: Quadrados e Mais Quadrados.

É recorrente partilhar neste espaço problemas que vou encontrando nas redes sociais. O problema deste texto chegou-me através de um colega que o publicou num grupo do Facebook e cuja fonte original parece ser o canal Matematicar (não o consegui confirmar).

O enunciado é o seguinte:

“Dispondo aleatoriamente quatro peões em quatro casas diferente de um tabuleiro de xadrez, qual é a probabilidade de serem os vértices de um quadrado?

Na figura está uma possível disposição dos quatro peões. 

 
 
Para simplificar, vamos assumir que os peões são sempre colocados exactamente no centro da casa.
 
O interessante não é a determinação do número de casos possíveis, isto é, do número de maneiras de escolher quatro das 64 casas do tabuleiro, que é dado por  64C4. O interessante é a determinação do número de casos favoráveis. Quando vi este problema lembrei-me logo de outro que foi proposto numa aula de Metodologia da Matemática, nos meus tempos de estudante universitário:
 
“Quantos quadrados existem num tabuleiro de xadrez?”
 
O tabuleiro tem 64 quadrados “1 por 1” e ele próprio é um quadrado, é um quadrado “8 por 8”. 
 
Para continuar a contagem, recorri então à estratégia esquematiza da figura seguinte:
 
 
Temos então sete quadrados 2x2 na horizontal e outros sete na vertical (cada cor representa um quadrado) o que perfaz um total de 7x7 = 72 quadrados “2 por 2”. Com a mesma estratégia podemos contar os restantes casos:
 
 
No entanto, voltando ao problema inicial, os 64 = 82 quadrados “1 por 1” não são casos favoráveis, visto que como os quatro peões estão em quatro casas distintas, os “menores” quadrados que interessam são os “2 por 2”.   
 
Portanto, já conseguimos contar 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 quadrados. Mas há mais, bastantes mais, por exemplo:
 
            
 
A contagem dos restantes casos fica para o próximo artigo e para o leitor que quiser tentar resolver este problema. Uma estratégia parecida com a explorada neste texto ajuda na determinação do número total de casos favoráveis. 
 
Como estamos no início do ano, desejo a todos um 0 - 1 + 39-2  + 4 - 5 ( 6 x 7 - 8) cheio de sucessos. 
 
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Publicado/editado: 04/01/2020