Se e Só Se por José Carlos Pereira - Três Problemas Simples

Eixos de Opinião de Outubro de 2020

José Carlos Pereira - Professor de Matemática. Autor de Livros Escolares. Responsável pelo Site Recursos para Matemática. (Ler +).


Título: Três Problemas Simples

Foi difícil encontrar um tema para o texto deste mês. Talvez por estarmos no início de um ano lectivo especial. Estamos a adaptar-nos a novos horários, novos alunos, novas rotinas e, no meu caso particular, a novos desafios. Sobre isso talvez escreva num dos próximos artigos.

O leitor mais assíduo sabe que gosto de partilhar neste espaço alguns problemas com os quais me vou cruzando no mundo digital e não só. Desta vez trago-lhe três problemas simples, dois deles que encontrei no já mundialmente famoso Briliant.org e o outro no perfil de um amigo, de que gostei muito e que podem ser resolvidos com conhecimentos adquiridos no ensino básico. Pelo menos para já, não irei resolver nenhum dos três, deixo essa tarefa para si, caro leitor.

O primeiro é um problema de áreas, cuja versão original está aqui, e diz o seguinte:

Sabendo que a área do rectângulo é 12, que a área do triângulo a laranja é 3 e que a área do triângulo a azul é 2, qual é a área do triângulo a amarelo?

Sugiro que comece por relacionar as áreas dos triângulos a laranja e a azul com a área do rectângulo, usando as fórmulas da área do triângulo e da área do rectângulo. Depois disto, com alguma manipulação algébrica deverá conseguir chegar ao resultado, que é 5.

O segundo também é um problema que envolve áreas. Cruzei-me com ele no perfil de um amigo e penso que a sua origem é de um site ou de um canal do Youtube chamado “Infinity of Angle”. Tentei encontrá-lo, mas não consegui.

Neste problema pretende-se determinar a área do triângulo equilátero da figura seguinte:

Sabemos que cada um dos quadrados tem um dos seus lados contido num dos lados do triângulo e também que um dos seus vértices pertence a um dos lados do triângulo. Além disso, sabemos também que um dos quadrados tem área 4 e o outro tem área 16.

Este é um bocadinho mais complicado do que o anterior, mas nada que não se possa resolver socorrendo-nos de algumas ferramentas com as quais nos cruzamos no ensino básico. Recorrendo à Trigonometria e se quiser, também à Semelhança de Triângulos, determina-se a medida do lado do triângulo. Sabendo-a, novamente com Trigonometria, ou Semelhança de Triângulos, ou mesmo com o teorema mais conhecido da Matemática – mas por aqui a coisa pode complicar-se mais do que o desejável –, calcula-se a medida da altura do triângulo. Se não se enganar nas contas deverá chegar a

que é a solução deste problema.

Finalmente, o terceiro deste grupo de problemas envolve uma contagem. A versão original está aqui e diz o seguinte:

Quantos rectângulos de área 4 podem ser identificados nesta grelha de 25 quadrados geometricamente iguais? Não se esqueça que quadrados também são rectângulos! No enunciado original não diz nada sobre a medida do lado de cada quadrado, mas, tendo em conta a solução que é dada como correcta, essa medida só pode ser 1, pelo que vamos assumir que é 1.

A melhor sugestão que eu lhe posso dar para a resolução deste problema está aqui. Depois de ler o texto que lhe sugeri chegará rapidamente à solução, 36. Dos três, este é o que permite mais extensões, por exemplo, e se fosse uma grelha 6x6 ou 7x7, ou 1000x1000? Ou, e se fossem rectângulos de área 6? Ou ainda, e se fosse uma grelha 9x9 e rectângulo de área 6? O limite é a imaginação do leitor.

Boas resoluções e divirta-se!

 

Publicado/editado: 03/10/2020