Teoria de Jogos por Alda Carvalho - O uso da simetria no jogo GATOS&CÃES
Eixos de Opinião de Outubro de 2020
Alda Carvalho - Docente do Ensino Superior e Investigadora do CEMAPRE/ISEG. (Ver +)
Título: O uso da simetria no jogo GATOS&CÃES
Desde a 7.ª edição do CNJM (2011) que milhares de alunos jogam o GATOS&CÃES (versão 8x8). Trata-se de um jogo inventado pelo matemático britânico Simon Norton na década de 70; deu lhe o nome SNORT, fazendo com que o seu próprio nome coincidisse com o nome do seu jogo. O nome CATS&DOGS surgiu mais tarde, quando Chris Huntoon o reinventou. Neste texto exemplificaremos como a simetria pode ser usada como estratégia.
O GATOS&CÃES é jogado numa grelha rectangular. As peças de um dos jogadores são gatos e a do outro são cães. Cada jogador coloca alternadamente uma peça sua numa casa vazia do tabuleiro. Não se pode colocar um cão junto de um gato (nem vice-versa), nem na vertical, nem na horizontal. Ganha o jogador que realizar a última jogada.
Comecemos por analisar o GATOS&CÃES nos tabuleiros 1x7 e 1x8.
Em ambos os casos, o primeiro jogador (imaginemos que é dono dos gatos) vence colocando uma peça no centro (na versão 1x7, na casa central; na versão 1x8, numa das duas casas centrais.
Depois disso, basta usar a simetria como estratégia para garantir a vitória. Num tabuleiro 1xn, o primeiro jogador consegue forçar a vitória.
Suponhamos agora que o tabuleiro passa a ter mais linhas, por exemplo, as versões 4x4 e 4x6. Nestes casos, já é o segundo jogador que consegue forçar a vitória, respondendo simetricamente em torno da intersecção central (assinalada com um ponto). O mesmo se aplica a qualquer caso em que tanto o número de linhas como o número de colunas são números pares.
Consideremos agora um tabuleiro com um número ímpar de linhas e um número ímpar de colunas, por exemplo, as versões 3x3 e 5x7. Nestes casos, a simetria volta a ser útil para o primeiro jogador. Colocando uma peça na casa central e, respondendo simetricamente em torno dessa casa durante o resto do jogo, o primeiro jogador consegue forçar a vitória.
Falta a análise de tabuleiros com diferentes paridades no número de linhas e de colunas, por exemplo, a versão 4x7. O primeiro jogador consegue forçar a vitória colocando uma peça numa das duas casas centrais. Depois, basta responder simetricamente em torno dessa zona de duas casas durante o resto do jogo.
Como conclusão, o GATOS & CÃES jogado em tabuleiros mxn, o primeiro jogador consegue sempre forçar vitória, excepto se tanto m como n forem números pares.
Neste momento, o leitor pode estar a pensar na versão 8x8 jogada no campeonato nacional. Segundo estas regras, usando a estratégia de simetria em torno da intersecção central, o segundo jogador consegue forçar vitória. Para tornear este problema (o jogo perde toda a piada se o desfecho estiver à vista), existe uma regra extra que obriga o primeiro gato a ser colocado na zona central e o primeiro cão a ser colocado fora da zona central.