(U)Ma Temática Elementar por José Carlos Santos - Primos de Fermat
Eixos de Opinião de outubro de 2018
Título: Primos de Fermat
Pierre de Fermat
Vamos considerar os números Fn da forma 22ⁿ + 1, onde n é um inteiro não negativo. Os cinco primeiros números desta forma são 3, 5, 17, 257 e 65 537. Acontece que são todos primos.
Costuma-se dizer que, no século XVII, Fermat conjecturou que todos os números Fn primos. De facto, não é bem assim. Fermat convenceu-se de que tinha provado esse facto. Infelizmente, não dispomos da sua demonstração. Mesmo estando errada, poderia valer a pena conhecê-la, pois podia ser válida em outras situações.
Mas como é que se sabe que Fermat estava errado? Isso é porque, cerca de um século mais tarde, Euler provou que 232 + 1 = 641 × 6 700 417. Como 32 = 25, isto prova que F5 é composto.
Voltemos ao ponto de partida. Porque é que Fermat se interessou por este tipo de números? Acontece que ele sabia que os números da forma 2n + 1 são sempre compostos quando n tem algum divisor ímpar maior do que 1. Ora os únicos números naturais sem divisores primos maiores do que 1 são precisamente as potências de 2. Sendo assim, se queremos procurar números primos da forma 2n + 1, temos que nos restringir às potências de 2.
Após Euler ter mostrado que Fermat se enganara, que foi que aconteceu? Durante muito tempo, nada, pois os números envolvidos são enormes. Mas em 1855 o dinamarquês Thomas Clausen provou que F6 também é composto. Em 1877, o russo Ivan Pervushin mostrou que F12 é composto e chegou à mesma conclusão relativamente a F23 no ano seguinte. De facto, nunca mais foi descoberto nenhum novo número primo desta forma e sabe-se que Fn é composto se n estiver entre 5 e 32 (inclusive). Qualquer pessoa pode ajudar a estudar os números desta forma, através do projecto de computação distribuída chamado Fermat search.
Lá por não terem servido para o objectivo inicial de serem um método de gerar números primos, não se deve deduzir que os números de Fermat são inúteis. De facto, têm propriedades interessantes. Por exemplo, multiplicarmos os primeiros números desta forma e adicionarmos 2 a este produto, obtemos o número desta forma que se segue. Por exemplo:
• 3 + 2 = 5
• 3×5 + 2 = 17
• 3×5×17 + 2 = 257
e assim sucessivamente. E resulta daqui que se pegarmos num factor primo de cada Fn, não podemos obter dois factores primos repetidos. Em particular, isto prova que há uma infinidade de números primos!