(U)Ma Temática Elementar por José Carlos Santos - Menos por menos dá mais II

Eixos de Opinião de dezembro de 2018

 Título: Menos por menos dá mais II

Há um mês foi vista aqui uma explicação para a regra «menos por menos dá mais». Mas o tipo de explicação mais frequente nos textos de Matemática é baseada na ideia da preservação de propriedades. 

Uma das propriedades básicas da multiplicação de números naturais é a distributividade da multiplicação relativamente à adição:

× (p + q) = m × p + m × q.

Ao estendermos a noção de multiplicação aos números inteiros, é natural que queiramos que esta propriedade seja preservada. Uma consequência imediata disso, é que o produto de um inteiro m por 0 é necessariamente 0, pois

0 = m × 0 – m × 0 = m × (0 + 0) – m × 0 = m × 0 + m × 0 – m × 0 = m × 0.

Agora, se m e n forem números naturais, então 0 = × 0 = m × ( n + (– n)) = × n + × (– n). Mas então, como m×n é positivo, m×(–n) é negativo. E também resulta daqui m×(–n) = –(m×n). Está então explicado porque é que «mais por menos dá menos».

Mas este tipo de argumentos também explica porque é que «menos por menos dá mais». Se m e n são números naturais, então

(– m) × ( – n) = – ( – m) × n = – (– (× n)) = × n.

Está então provado que «menos por menos dá mais».

O «provado» da frase anterior não tem o sentido usual de «provar» em Matemática, onde se prova uma afirmação matemática a partir de outras. O que foi provado foi que a regra de «menos por menos dá mais» é a única compatível com a distributividade da multiplicação relativamente à adição: se queremos ter esta propriedade, temos necessariamente aquela.

E esta aplica-se a muitas outras propriedades aritméticas. É por isso que, por exemplo, um número elevado a ½ é a sua raiz quadrada: e a única maneira de preservar a propriedade ab×c = (ab)c.

Publicado/editado: 21/12/2018