(U)Ma Temática Elementar por José Carlos Santos - Crescimento Exponencial

Eixos de Opinião de setembro de 2018

Título: Crescimento exponencial

Comecemos com uma lenda, a da invenção do xadrez. Segundo essa lenda, este jogo foi oferecido pelo seu inventor a um rei indiano, a título de presente. O rei ficou encantado com o jogo e perguntou ao inventor o que é que queria receber em troca, ao que o inventor respondeu que se contentava com uns grãos de trigo: 1 grão pelo primeiro quadrado do tabuleiro, 2 pelo segundo, 4 pelo terceiro, 8 pelo quarto e assim sucessivamente. O rei manifestou espanto por o inventor pedir um presente tão insignificante perante um tal presente, mas concordou. Só que depois vieram dizer-lhe que a quantidade de trigo envolvida era superior a todo o trigo existente no reino.

Não é difícil ver que assim é. O inventor estava a pedir

1 + 2 + 22 + 23 + ⋯ + 263

grãos de trigo, ou seja, cerca de 18×1018 grãos de trigo.

O que aconteceu a seguir depende da versão da lenda. Segundo uma, o inventor explicou ao rei que o seu objectivo foi somente explicar como algo aparentemente simples pode esconder uma grande complexidade, o que fez com que o rei o nomeasse seu conselheiro. Segundo outra versão, o rei mandou executá-lo.

Esta história é um excelente exemplo de crescimento exponencial. A generalidade das pessoas mostra-se surpreendida por este levar rapidamente a números tão grandes. Outro exemplo é o seguinte: perguntar alguém se prefere receber um milhão de euros de uma só vez ou receber uma certa quantia todos os dias durante 30 dias, começando essa quantia por ser um cêntimo no primeiro dia e, após isso, recebendo a pessoa em cada dia o dobro do que recebeu no anterior. É uma aposta segura que a grande maioria das pessoas acharia a primeira hipótese mais atraente do que a segunda. De facto, a segunda leva a que se receba mais do que dez milhões de euros.

É também por isto que um esquema um pirâmide só pode resultar por um curto período de tempo. Num tal esquema, as pessoas são recrutadas para um grupo (tendo que pagar para entrar). Em seguida têm que recrutar mais um certo número de pessoas. Digamos que cada novo membro tem que recrutar 5 pessoas e que, a um dado instante, há 100 novos membros. Então esses teriam que recutar 500 novos membros, os quais teriam que recrutar 2500 novos membros e, se isso pudesse continuar assim, rapidamente o grupo teria mais membros do que toda a raça humana.

Este texto começou com uma lenda e agora termina com uma adivinha clássica. No dia 1 de Agosto há um nenúfar num lago. O número de nenúfares duplica todos os dias. No último dia de Agosto o lago fica cheio. Ao anoitecer desse dia, alguém chega lá com a intenção de arrancar todos os nenúfares, e quase que o consegue: só sobram dois. Ou seja, o dia 1 de Setembro começa com dois nenúfares no lago. Quando é que o lago volta a ficar cheio? Não, não é no dia 15…

Publicado/editado: 20/09/2018