(U)Ma Temática Elementar por José Carlos Santos - Da matemática elementar à não elementar

Eixos de Opinião de maio de 2018


 

Título: Da matemática elementar à não elementar

Neste texto, vão ser abordados dois tópicos. Um deles já foi, de facto, aqui abordado: os números decimais. Ninguém contestará que é um tópico de Matemática elementar. O outro, pelo contrário, dificilmente poderá ser visto dessa maneira; trata-se do estudo de séries de potências, ou seja, de expressões do tipo

a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + …

Aparentemente, são tópicos muito distintos. No entanto, como iremos ver, estão historicamente ligados.

As séries de potências começaram a ser estudadas no século XVII. Quem lhes deu destaque e as usou com uma enorme versatilidade foi nem mais nem menos que Isaac Newton, para o qual elas tinham um lugar central no (então nascente) Cálculo Infinitesimal. Já agora, ela não as designava por «séries de potências», mas sim por «polinómios infinitos».

Mas qual é a ligação entre estes dois assuntos? Como o próprio Newton deixou explícito, ele inspirou-se precisamente nos números decimais para trabalhar com elas. Vejamos um exemplo: a relação

1/(1 + x) = 1 – x + x2x3 + ...

Como é que Newton provou isto? Pois bem, ele tomou como modelo a divisão entre números decimais (tal como, digamos, a divisão de 2 por 1,5) e fez a divisão de 1 por 1 + x pelo mesmo processo, obtendo assim a séries de potências atrás descrita.

Newton também lidou com a raiz quadrada de 1 + x2. Mais uma vez, calculou-a como se estivesse a calcular a raiz quadrada de um número e obteve:

1+ x2/2 – x4/8 + x6/16 – 5x8/128 + …

(neste caso, o padrão não é óbvio). 

O próprio Newton revelou espanto por ninguém ter feito isto antes dele, com uma excepção, o cartógrafo Mercator. Este, para trabalhar com logaritmos, tinha provado que

log(1 + x) = x x2/2 + x3/3 – x4/4 + …

resultado, aliás, que Newton redemonstrou a partir da série para 1/(1 + x) acima mencionada.

É só mais um exemplo de como a Matemática elementar deve ser levada a sério.

Publicado/editado: 21/05/2018