(U)Ma Temática Elementar por José Carlos Santos - Como o génio de Basileia resolveu o problema de Basileia
Eixos de Opinião de Junho de 2019
José Carlos Santos - Departamento de Matemática da FCUP (Ver +)
Título: Como o génio de Basileia resolveu o problema de Basileia
Em 1650, foi publicado em Basileia, na Suíça, o livro Novæ quadraturae arithmeticæ, do matemático italiano Pietro Mengoli. Era um livro sobre soma de séries e ficou famoso por surgir aí o seguinte problema: determinar a soma da série
1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + ⋯
Quando, como é aqui o caso, se vão somando números maiores do que 0, cada soma é maior do que anterior e há duas possibilidades: ou as somas vão tomando valores arbitrariamente grandes, ou há um número do qual essas somas se vão aproximando. E é esta última possibilidade que tem lugar. Com efeito, uma vez que:
• 1/22 < 1/(1×2) = 1 – 1/2;
• 1/32 < 1/(2×3) = 1/2 – 1/3;
• 1/42 < 1/(3×4) = 1/3 – 1/4
e assim sucessivamente, tem-se
1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + ⋯ < 1+ 1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4+ ⋯ = 2.
Este problema ficou conhecido por problema de Basileia.
E quem o resolveu, 85 anos mais tarde, foi um matemático nascido em Basileia. Nem mais nem menos que Leonhard Euler! E isto no início da sua carreira.
Euler partiu da seguinte observação:
sen(x) = x – x3/3! + x5/5! – ⋯
e, portanto,
sen(x)/x = 1 – x2/3! + x4/5! – ⋯
Em seguida, Euler lidou com esta série como se fosse um polinómio. Acontece que quando um polinómio p(x) só tem raízes simples r1, r2, … (uma raiz r de p(x) é uma raiz simples quando r não é raiz de p(x)/(x – r)), todas diferentes de 0, então p(x) = p(0)(1 – x/r1) (1 – x/r2)… (1 – x/rn). Aplicando isto a sen(x)/x (que não é um polinómio), cujas raízes são ±π, ±2π, ±3π, …, Euler deduziu que
sen(x)/x = (1 – x/π)(1 + x/π)(1 – x/(2π)) (1 + x/(2π))… = (1 – x/(π2))(1 – x/(4π2))…
Se compararmos os coeficientes de x na igualdade
1 – x2/3! + x4/5! – ⋯ = (1 – x/(π2))(1 – x/(4π2))…
o que obtemos é –1/3! = –1/π2 – 1/(4π2) – 1/(9π2), o que é o mesmo que afirmar que
π2/6 = 1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + ⋯
Escusado será dizer que esta abordagem não foi propriamente consensual na altura. Mas é um excelente exemplo da maneira de trabalhar de Euler.