U(Ma) Temática Elementar por José Carlos Santos - O impossível II
Eixos de Opinião de Março de 2019
Título: O impossível II
No mês passado vimos aqui como provar que uma tarefa não pode ser levada a cabo recorrendo à ideia de que certas quantidades se mantêm invariantes. O exemplo dado nessa altura foi particularmente simples e foi inventado para ilustrar esta ideia. Veremos aqui um novo exemplo de aplicação desta ideia.
Vamos considerar o problema que consiste em cobrir com peças de dominó dois tabuleiros de xadrez ao qual foram retirados dois cantos, como nas figuras abaixo:
Aqui, cada peça de dominó tem o tamanho de dois dos quadrados do tabuleiro e a ideia consiste em cobrir o tabuleiro de maneira que cada peça de dominó ocupe dois quadrados do tabuleiro e sem que nenhum quadrado do tabuleiro tenha mais do que uma peça de dominó em cima.
É muito fácil resolver o problema no caso do tabuleiro da esquerda. E o da direita? Acontece que, neste caso, o problema não tem solução! E o motivo fica simples de perceber quando colorimos os quadrados alternadamente a preto e branco, tal como num tabuleiro de xadrez:
Ao eliminarmos duas extremidades da diagonal preta, estamos a retirar do tabuleiro dois quadrados pretos. Mas cada peça de dominó ocupa uma casa preta e uma branca! Assim sendo, quando o problema tem solução, o número de casas brancas e o número de casas pretas tem que ser idêntico. Por outras palavras, para que o problema tenha solução, é preciso que a quantidade
(nº de quadrados brancos) – (nº de quadrados pretos)
seja igual a 0. Eis então mais um exemplo de uma quantidade que se mantém invariante e como esse problema pode ser usado para provar que um problema não tem solução.
Isso leva a uma questão interessante. E se removermos do tabuleiro duas casas de cores opostas? Será que é sempre possível cobrir o resto do tabuleiro com peças de dominó? Este problema fica para o próximo mês.