(U)Ma Temática Elementar por José Carlos Santos - Que números é que são racionais?
Eixos de Opinião de janeiro de 2019
Título: Que números é que são racionais?
Os matemáticos estudam e tentam resolver problemas de Matemática. São os problemas que fazem com que a Matemática continue viva. Infelizmente, a maior parte dos problemas que são de facto estudados pelos matemáticos são tão avançados que nem uma licenciatura em Matemática é suficiente para se saber em que é que estes problemas consistem. E, no entanto, há problemas em aberto sobre algo que é geralmente visto como bastante básico: determinar se um certo número é ou não racional. Vão ser vistos aqui alguns exemplos.
Comecemos pelos números e e π. Já se sabe há mais de um século que são ambos irracionais. De facto, sabe-se mais do que isso: são transcendentes, ou seja, não são raízes de nenhum polinómio não nulo com coeficientes inteiros. Mas agora a pergunta é: e os números e + π e e×π ? Ninguém sabe. Pode-se provar que não podem ser ambos racionais, mas serão ambos irracionais? É de esperar que assim seja, mas ninguém sabe.
E há muitas variantes disto. Não se sabe se π – e, π/e, ππ, eπ, πe ou log(π) são racionais ou irracionais.
Outro exemplo é a constante de Euler-Mascheroni:
γ = limn 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n – log(n).
Este número já é conhecido desde o século XVIII (o seu valor é aproximadamente 0,577) mas não se sabe se é racional ou irracional. Sabe-se, no entanto, que se for racional e se for expresso como fracção irredutível, então o denominador tem que ter, pelo menos, 242080 algarismos.
E também há a constante de Catalan: 1/12 – 1/32 + 1/52 – 1/72 + … Mais uma vez, não se sabe se esta soma é racional ou irracional. E há um motivo extra para dar aqui este exemplo. E se considerássemos agora a soma 1/13 – 1/33 + 1/53 – 1/73 + …? Seria de pensar que também não se sabe nada sobre este número. Com efeito, pode-se provar que é igual a π2/32, de onde resulta que é irracional. E isto é um exemplo de como, até na Matemática, as aparências iludem.