100 Problemas por José Paulo Viana - Um cêntimo para os Pobres
Eixos de Opinião de dezembro de 2012
Publicado a 16 de Dezembro de 2012




 

Ah, os problemas!   
Lembram-se do prazer que é encontrar um problema, daqueles que nos desafiam logo que o lemos, e depois avançar na resolução até conseguir descobrir a resposta?   
Recordam-se da alegria que é descobrir a forma elegante e simples que alguém encontrou para resolver um problema que julgámos impossível ou que tanto trabalho nos deu?   
E, finalmente, concordam que entusiasma discutir com outras pessoas a maneira de chegar à solução de um problema que nos intriga?   
Pois é por estes três motivos que esta secção existe.

   

José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público


Artigo de dezembro     

Título: UM CÊNTIMO PARA OS POBRES


Para comemorar a independência de Portugal, D. Mafalda, mulher de D. Afonso Henriques, depositou um cêntimo no recém criado Banco de Portugal. O banco comprometeu-se a pagar um juro anual de 5% e D. Mafalda deixou instruções para que, no início de 2013, o dinheiro fosse distribuído pelos pobres de Portugal.

Quanto vai receber cada pobre?

Quando lemos ou ouvimos este texto não podemos deixar de sentir uma certa estranheza e fazer um sorriso irónico. Um cêntimo apenas para os pobres? E, já agora, quantos são os pobres?

Bem, realmente um cêntimo não é nada e os pobres são muitos. Aliás, na atual situação portuguesa, podemos mesmo dizer que o número de pobres deve rondar os 10 milhões…

Mas vamos lá fazer os cálculos.

O ano maioritariamente aceite para a independência de Portugal é 1143. Ou seja, passaram-se 870 anos.

Como evolui um certo capital C depositado à taxa de 5%?

Ao fim de um ano, o novo capital C1 vai ser   C1 = C + 0,05C = 1,05C. Ou seja, quando passa um ano, o capital anterior é multiplicado por 1,05.

Portanto, ao fim do segundo ano, o capital será   C2 = 1,05C1 = 1,052C.

Após n anos, o depósito é   Cn = 1,05n C.

Então, em 2013, o valor da conta da D. Mafalda será   C870 = 1,05870 C.

Como   C = 0,01€, vem

C870 = 1,05870 x 0,01 = 27 207 597 292 000 000 euros

Vemos este número e não acreditamos. Será possível? (há mesmo quem refaça os cálculos)


Mas é mesmo verdade e portanto o que vai ser dado a cada pobre é:

27 207 597 292 000 000 / 10 000 000 = 2 720 759 729 euros

2720 milhões de euros a cada um. Nada mau, estava a crise completamente ultrapassada e toda a gente contente. Só é pena que a D. Mafalda não se tenha lembrado disto...

Como é que um depósito tão pequeno, a evoluir tão devagar (1,6 cêntimos ao fim de 10 anos; 2,7 cêntimos aos 20 anos e 11 cêntimos aos 50 anos) pode dar origem a uma quantia tão elevada? Tudo tem a ver com aquela exponencial de base 1,05. Sempre que a base é maior que 1, o comportamento da exponencial é o mesmo: durante “muito tempo” nada parece acontecer mas de repente dá-se uma explosão e o crescimento torna-se vertiginoso. Veja-se como é o gráfico.

 Até cerca do ano 1800 o valor do depósito era demasiado pequeno para os 10 milhões de “pobres”. Por essa altura, começa-se a notar o crescimento para que, de súbito, ele salte e ultrapasse os biliões.

Nós não estamos habituados a este tipo de crescimento. Os mais habituais são os crescimentos lineares e quadráticos e, por isso, a nossa intuição falha quando temos de lidar com crescimentos exponenciais.

Imagine que um humorista inventava uma anedota muito divertida. Uma hora depois, contava-a a dois dos seus conhecidos. Cada um deles, passada mais uma hora, contava-a a mais duas pessoas diferentes. E assim sucessivamente, a cada hora passada, cada pessoa que ouvia a anedota contava-a a duas pessoas que ainda não a conheciam.

Quanto tempo era preciso para que Portugal inteiro se risse com a anedota? E para que ela fosse conhecida no mundo inteiro?

(antes de efetuar os cálculos, faça uma estimativa e depois compare-a com o valor real)


Resposta à questão do mês anterior.

1 degrau: 1 maneira; 2 degraus, 2 maneiras; 3 degraus, 4 maneiras. A partir daqui, o número é igual à soma dos três anteriores. Obtém-se a sucessão:

1 – 2 – 4 – 7 – 13 – 24 – 44 – 81 – 149 – 274 - 504 – 927

Há 927 maneiras de descer os 12 degraus.





Artigo de Opinião

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