100 Problemas com José Paulo Viana
Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião abril de 2015
Ah, os problemas!
Lembram-se do prazer que é encontrar um problema, daqueles que nos desafiam logo que o lemos, e depois avançar na resolução até conseguir descobrir a resposta?
Recordam-se da alegria que é descobrir a forma elegante e simples que alguém encontrou para resolver um problema que julgámos impossível ou que tanto trabalho nos deu?
E, finalmente, concordam que entusiasma discutir com outras pessoas a maneira de chegar à solução de um problema que nos intriga?
Pois é por estes três motivos que esta secção existe.
José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público
Ah, os problemas!
Lembram-se do prazer que é encontrar um problema, daqueles que nos desafiam logo que o lemos, e depois avançar na resolução até conseguir descobrir a resposta?
Recordam-se da alegria que é descobrir a forma elegante e simples que alguém encontrou para resolver um problema que julgámos impossível ou que tanto trabalho nos deu?
E, finalmente, concordam que entusiasma discutir com outras pessoas a maneira de chegar à solução de um problema que nos intriga?
Pois é por estes três motivos que esta secção existe.
José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público
100 Problemas por José Paulo Viana
Artigo de abril de 2015 - Dia 17
Onze amigos vão passar cinco dias de férias num aldeamento turístico. Todas as noites irão jantar a um restaurante, onde já reservaram uma mesa redonda com onze lugares.
Eles gostariam que os vizinhos (um à esquerda, outro à direita) fossem diferentes de jantar para jantar, de tal modo que, no final das férias, cada um tivesse jantado ao lado de todos os restantes.
Será isso possível? Se sim, como se hão de eles sentar em cada jantar?
Leitor, antes de continuar a ler, não quer tentar encontrar uma solução? Talvez valha a pena…
O enunciado que aqui apresentamos é uma versão (bastante mais simples) de uma classe de problemas que ficou conhecida por “Problema de Oberwolfach”. O problema original surgiu num seminário no Instituto de Investigação Matemática de Oberwolfach, onde reuniram 11 matemáticos durante cinco dias (mas foi mais complicado porque havia mais que uma mesa…). O problema deu bastante luta, sobretudo quando se quis generalizar para qualquer número de participantes jantando em mesas que, em cada caso, variavam em número e lotação.
Para a versão que hoje aqui propomos, existe uma solução bastante simples de pôr em execução (mas que só é simples depois de a termos descoberto).
Numeremos os amigos de 1 a 11.
Na primeira noite, sentamos os amigos por ordem:
1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11
Note-se que o 1 e o 11 são vizinhos, porque a mesa é redonda.
Na segunda noite, os amigos sentam-se de dois em dois, ou seja, cada número fica duas cadeiras à frente do número anterior:
1 – 7 – 2 – 8 – 3 – 9 – 4 – 10 – 5 – 11 – 6
Na terceira noite, os amigos sentam-se de três em três, ou seja, cada número fica três cadeiras à frente do número anterior:
1 – 5 – 9 – 2 – 6 – 10 – 3 – 7 – 11 – 4 – 8
Na quarta noite será de quatro em quatro:
1 – 4 – 7 – 10 – 2 – 5 – 8 – 11 – 3 – 6 – 9
Na quinta noite será de cinco em cinco:
1 – 10 – 8 – 6 – 4 – 2 – 11 – 9 – 7 – 5 – 3
Como se vê, não custa nada… Mas isto funciona bem porque 11 é um número primo.
Se diminuirmos o número de amigos para 9, à partida seria mais fácil (menos amigos e só quatro jantares). Mas o método anterior falha porque 9 não é primo e a solução passa a ser mais complicada de descobrir.
Quer o leitor tentar encontrar uma solução para nove amigos (e quatro jantares, evidentemente)?