(U)Ma Temática Elementar por José C. Santos

Os «cromos» do título não são pessoas. São verdadeiros cromos, daqueles que se coleccionam.

Imaginem uma colecção de cromos. Compra-se uma caderneta com lugar para, digamos, 100 cromos e, em seguida vão-se comprando saquetas de, por exemplo, 5 cromos cada. Quantas saquetas é necessário comprar para ser de esperar que a colecção esteja completa? Este é um problema de probabilidades que se aplica obviamente à vida real. Vamos supor que não há cromos mais difíceis de obter do que outros.

Como é típico, convém começar por pensar neste problema num caso mais simples. Provisoriamente, vamos esquecer que os cromos vêm em grupos de 5 e vamos imaginar que se pode adquirir um de cada vez. O primeiro que adquirirmos não pode ser repetido, claro. E o segundo? Como a colecção tem 100 cromos, a probabilidade de ser novo é de 99/100 e a de ser repetido (ou seja, igual ao único que já temos) é de 1/100. Ou seja, após termos o segundo cromo, a probabilidade de termos dois cromos distintos é de 99/100 e a probabilidade de termos o mesmo cromo duas vezes é de 1/100. E após termos dois cromos distintos, o que é que acontece após termos adquirido o terceiro? O raciocínio é análogo: a probabilidade de ser novo é de 98/100 e a de ser repetido é de 2/100.

E assim por diante. Isto quantifica algo que qualquer pessoa sente instintivamente: que, à medida que se progride na colecção, vai sendo cada vez mais difícil obter cromos novos e cada vez mais frequente que se obtenham repetidos. No caso extremo de só nos faltar um cromo, a probabilidade de um cromo adquirido ser esse que nos falta é de 1/100, enquanto que a probabilidade de ser repetido é de 99/100.

E isto leva ao seguinte problema: quantos cromos teremos que comprar, em média, para que seja de esperar que a colecção esteja completa? A resposta é: 

ou, mais correctamente, o menor número natural maior ou igual ao número anterior. E como o número anterior é igual a 518,7, só quando se tiverem 519 cromos é que é de esperar que a colecção esteja completa. 

Agora vamos ver uma estimativa dos custos. Supondo então que os cromos são vendidos em saquetas de 5 e que cada saqueta custa 50 cêntimos, quanto é que é necessário gastar até que seja de esperar que a colecção esteja completa? Os cálculos são simples de fazer e a resposta é: 52 euros (mais o preço da caderneta, naturalmente). Uma pessoa que visse à venda a caderneta já completa por esse preço, estaria disposta a comprá-la?

Na prática, os custos não são tão elevados, por dois motivos:

• Actualmente, é frequente, quando faltam poucos cromos, que estes possam ser encomendados ao fabricante da colecção.

• Se houver várias pessoas a fazerem a mesma colecção e a trocarem os cromos repetidos entre si, os custos baixam.