100 Problemas por José Paulo Viana
Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião setembro de 2016
Publicado a 17 de Setembro de 2016


100 Problemas por José Paulo Viana - Previsões, Previsões

Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião setembro de 2016                                                    

Clube de Matemática SPM


Título:   
PREVISÕES, PREVISÕES


Amanhã, às 02h46, vai dar-se um interessante fenómeno astronómico. Estou muito interessado em o observar mas só o posso fazer se o céu estiver limpo na zona onde moro.



Resolvi consultar, pela Internet, três sites especializados neste tipo de informação:

- EuroMeteo, que acerta 60% das vezes,

- NeoWeather, que tem uma fiabilidade de 70%,

- SkyPrecision, com 80% de credibilidade.


As duas primeiras disseram que estaria nublado, o último previu céu limpo àquela hora.


Estou um pouco baralhado. Duas previsões são “contra” o que eu quero mas a que é “a favor” é a que falha menos.


1º) Qual será a probabilidade de eu conseguir fazer a observação?


Lembro-me que, há uns tempos atrás, para uma outra observação que queria fazer, consultei a NeoWeather e a SkyPrecision. Uma delas previu céu limpo e a outra nebulosidade. As coisas correram bem porque consegui ver o acontecimento astronómico.


Já não me lembro quem acertou na previsão.


2º) Qual é a probabilidade de ter sido a SkyPrecision?


 

Sempre gostei de problemas de probabilidades. Os dois que aqui temos hoje podem ser resolvidos usando a noção de probabilidade condicionada. No entanto, mesmo quem não saiba o que isso é, pode chegar à solução. Vamos ver então como pode isso ser feito sem usar explicitamente tal conceito.

1º)


Duas coisas podem acontecer: o céu estar nublado ou estar limpo.


Se estiver nublado, as duas primeiras previsões estão certas e a terceira está errada. A probabilidade de isso acontecer é:
P(acerta-acerta-falha) = 0,6 x 0,7 x 0,2 = 0,084


No caso de céu limpo, as duas primeiras previsões estão erradas e a terceira está certa. A probabilidade de isso acontecer é:
P(falha-falha-acerta) = 0,4 x 0,3 x 0,8 = 0,096


Estes dois acontecimentos, que têm uma probabilidade total de 0,084 + 0,096 = 0,180, constituem o nosso “universo” (porque, de certeza absoluta, se vai verificar um deles).


Então a probabilidade de o céu estar limpo (acertando apenas a terceira previsão) é:
0,096/0,180 =8/15 = 0,533


Ou seja, é ligeiramente mais provável (53,3%) que a observação astronómica se possa fazer.


2º)


Nesta segunda questão, uma das previsões foi correta e a outra errada, mas não sabemos quem acertou, se a NeoWeather (NW) ou se a SkyPrecision (SP).

Calculemos as probabilidades de cada caso.


P(NW certa, SP errada) = 0,7 x 0,2 = 0,14


P(NW errada, SP certa) = 0,3 x 0,8 = 0,24


Destes dois acontecimentos, um verificou-se de certeza. Logo, o conjunto dos dois constitui o nosso “universo”, com uma probabilidade total de  0,14 + 0,24 = 0,38.


A probabilidade de ter sido a SkyPrecision a acertar é então:
0,24/0,38 = 12/19 = 0,632.