(U)Ma Temática Elementar-José Carlos Santos-O início da trigonometria
Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião março de 2017
Publicado a 21 de Março de 2017

 


A Matemática elementar tem muito que se lhe diga. Embora nos seja familiar, é sempre possível encará-la de um ponto de vista novo ou inesperado.                                                

José Carlos Santos - Departamento de Matemática da FCUP                                       


Dia 21 de cada mês

                 


(U)Ma Temática Elementar por José Carlos Santos - O início da trigonometria

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Título: O início da trigonometria


A trigonometria é um ramo muito antigo da Matemática. Em vez de tentar definir exactamente o que é a trigonometria, vamos falar aqui de funções trigonométricas. Qual será a mais antiga função trigonométrica a ser usada? Será o seno? A tangente?


De facto, a mais antiga função trigonométrica a ser usada não é nenhuma das actuais. É a corda de um ângulo, que pode ser definida assim: dado um ângulo α, considera-se a circunferência de raio 1 centrada no vértice do ângulo. Então os lados do ângulo interesectam a circunferência e a corda de α é o comprimento do segmento de recta que une esses pontos de intersecção (o qual é uma corda da circunferência). Com esta definição é fácil provar que as cordas dos ângulos com 60º, 90º e 180º de amplitude são 1, raiz quadrada de 2 e 2, respectivamente. Vendo a figura abaixo, é fácil deduzir uma propriedade da corda: a soma dos quadrados das cordas dos ângulos α e 180º – α é igual a 4, pelo teorema de Pitágoras. Assim sendo, se conhecemos a corda de α, então também conhecemos a corda de 180º – α e vice-versa.




Foi para aumentar o número de ângulos para os quais se conhece a corda que Ptolomeu provou o seu famoso teorema sobre quadriláteros cíclicos. Este afirma que se se tiver um quadrilátero [ABCD] inscrito numa circunferência e que se se percorrer a circunferência em algum sentido partindo do vértice A, então a seguir encontra-se o vértice B, depois o vértice C e, finalmente, o vértice D, então o produto dos comprimentos das diagonais é igual à soma dos produtos de comprimentos de pares de lados opostos, ou seja, que


AC.BD = AB.CD + BC.DA;


veja-se a figura abaixo. Pois bem: Ptolomeu não encarou isto como um teorema de Geometria pura. Foi usado para, dados dois ângulos α e β, encontrar a corda de α – β em função das cordas de α, de β, de 180º – α e de 180º – β.



A trigonometria foi muito desenvolvida na Índia e foi aí que surgiu o conceito de seno de um ângulo. A origem deste e, sobretudo, a do seu nome é bastante curiosa. Convém começar por observar que há uma relação simples entre o seno e a corda de um ângulo α, que é a seguinte: a corda de α é o dobro do seno de α/2. Os matemáticos e astrónomos indianos foram usando cada vez mais o seno no lugar da corda e, como tinham que lhe dar um nome, chamaram-lhe jya-ardha, que significa corda-metade. Isto acabou por ser abreviado para jiva. Quando os autores árabes precisaram de um termo para isto, limitaram-se a transcrever foneticamente o termo indiano. Finalmente, quando Gerardo de Cremona, no século XII, traduziu para latim um texto árabe de trigonometria, precisou de encontrar uma tradução adequada. Mas o árabe escrito não tem vogais e Gerardo de Cremona pensou talvez que se tratava da palavra jaib, que significa «seio». Assim sendo, traduziu para «sinus», que é o termo latino correspondente.


Para terminar este texto, vamos ver uma contribução interessante de um matemático indiano, Bhāskara I (que viveu no século VII da nossa era) para a trigonometria. Para conseguir obter uma tabela de senos, ele determinou (desconhece-se como) uma aproximação muito boa da função seno (em [0,π/2]) por uma função racional f. É a função definida por


f(x) = 16 x (π – x)/(5π2 – 4 x (π – x)).

O erro cometido ao usar-se esta função no lugar do seno nunca excede 1/500!