100 Problemas por José Paulo Viana
Clube de Matemática SPM - Outubro de 2017
Publicado a 17 de Outubro de 2017


100 Problemas por José Paulo Viana - Uma Corda à Volta da Terra

Clube de Matemática SPM - Outubro de 2017                                                              

Clube de Matemática SPM


Título: Uma Corda à Volta da Terra


Um problema muito famoso é o da “Corda à volta da Terra”.

Temos uma corda à volta da Terra, por exemplo, no equador. Acrescentamos-lhe um metro e esticamos uniformemente. Fica a haver uma folga entre a corda e o chão. Que animal conseguirá passar por baixo da corda?

O resultado é surpreendente e vai completamente contra a nossa intuição. Estamos à espera que a folga seja minúscula, mas afinal até um gato passaria por ela facilmente. Aliás, qualquer que fosse a esfera inicial, se acrescentarmos um metro ao seu perímetro, a nova circunferência vai ter um raio que excede o inicial em cerca de 15,9 cm.


Sejam P e P’ os perímetros das duas circunferências. Queremos calcular R’-R.

  P’ = P + 1  ⇔  2πR’ = 2πR + 1  ⇔   2π(R’-R) = 1  ⇔  R’-R = 1/(2π) 
 

  R’-R ≈ 0,159 m

Há muitos anos, propus este problema numa turma de 10º ano. Passado uns dias, João Choon, um dos alunos mais interessantes que tive, veio ter comigo desafiando-me com uma variante:

Temos a tal corda à volta da Terra. Se lhe retirarmos um metro, já não é possível pô-la ao longo do equador. Vamos então pousá-la no chão “paralelamente” ao equador (com todos os seus pontos a igual distância do equador).
Qual vai ser a distância da corda ao equador?
Cabe lá algum país?


Antes de avançar na leitura, não quer tentar descobrir por si?
 
O resultado vai, novamente, ser inesperado.

Como sabemos, o equador terrestre, mede 40 000 quilómetros, ou seja, 40 milhões de metros.

Seja R o raio da Terra e r o raio da circunferência da corda.

Façamos um esquema da situação. Note-se, embora isso seja irrelevante, que o ângulo α corresponde à latitude a que a corda fica.
  
A partir da figura, podemos deduzir que: 

  

Surpresa, a corda fica a quase quilómetro e meio do equador.

Consultando atlas e enciclopédias, descobrimos que há mesmo, pelo menos, dois países que lá cabem. Com efeito, o Mónaco e o Vaticano têm larguras inferiores 1423 metros.