(U)Ma Temática Elementar por José C. Santos

Qual é o objecto tridimensional cujo volume é conhecido há mais tempo?

É preciso começar por ver que resulta do próprio conceito de volume que o volume de um paralelepípedo recto de comprimento a, largura b e altura c é abc. Portanto, a pergunta é: qual é o objecto tridimensional que não seja um paralelepípedo recto cujo volume é conhecido há mais tempo? 

A resposta é dada pela próxima figura: é a pirâmide quadrangular truncada. Com efeito, num dos mais longos textos matemáticos do antigo Egipto que chegaram ao nosso tempo, o Papiro de Moscovo. Julga-se que o conteúdo deste texto data de cerca de 1850 AC. É aí explicado que se temos uma pirâmide quadrangular truncada, sendo:

 • a o lado do topo;

 • b o lado da base;
 • h a altura

então o volume da pirâmide é igual a h(a² + ab + b²)/3.

 

Há aqui alguns comentários a fazer. Primeiro: a fórmula está correcta. Como que que o seu autor lá chegou é algo que não se sabe, embora haja conjecturas quanto a isso. Em segundo lugar, convém pensar no que é que isto nos diz sobre o volume da pirâmide completa. É natural pensar que isso corresponde a ter-se b = 0, mas não há nenhum texto do antigo Egipto com a fórmula do volume da pirâmide completa. Para além de um anacronismo: pode parecer simples escrever que basta tomar b = 0, mas só se começou a encarar 0 como um número a partir do século XVI.

Acontece que pela mesma época, na antiga Babilónia também já se conhecia uma fórmula para calcular o volume de uma pirâmide quadrangular truncada. Isto pode levar a pensar que pode ter havido troca de conhecimentos entre as duas regiões. Mas, embora isso não seja de excluir, acontece que a fórmula da Babilónia era bastante diferente da egípcia. Era a seguinte: h((a + b)/2)² + (a – b)/2)²/3). E, numa época em que não se havia a nossa facilidade de manipular expressões algébricas, não é nada fácil passar da expressão da Babilónia (que também está correcta) para a egípcia ou vice-versa.

Não deixa de ser espantoso pensar que, há quase 4000 anos, dois povos diferentes já sabiam calcular o volume de uma pirâmide quadrangular truncada.