100 Problemas por José Paulo Viana

Eixos de Opinião




 

Ah, os problemas!  
Lembram-se do prazer que é encontrar um problema, daqueles que nos desafiam logo que o lemos, e depois avançar na resolução até conseguir descobrir a resposta?  
Recordam-se da alegria que é descobrir a forma elegante e simples que alguém encontrou para resolver um problema que julgámos impossível ou que tanto trabalho nos deu?  
E, finalmente, concordam que entusiasma discutir com outras pessoas a maneira de chegar à solução de um problema que nos intriga?  
Pois é por estes três motivos que esta secção existe.

   

José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público


Artigo de outubro    

Título: Quando as Mentiras são o Problema

 

A revista Tangente publicou o problema discutido no último texto desta secção, Triângulos quase iguais, referindo que ele tinha sido apresentado no livro O Circo Matemático, de Martin Gardner. Ora eu tinha comprado a versão francesa desse livro há muitos anos e não me lembrava nada de o ter visto. Fui à procura e, claro, lá estava ele. Só que os livros de Martin Gardner têm tantos desafios intrigantes e tantas análises interessantes que é normal alguns nos escaparem. Na mesma página dos Triângulos quase iguais havia mais nove problemas curiosos. É de um deles que vamos tratar hoje, numa versão adaptada, para depois partirmos para outros do mesmo tipo.

Numa ilha do Pacífico há três tribos: os Verks, que dizem sempre a verdade, os Falks, que mentem sempre, e os Alterns, que dizem alternadamente uma mentira e uma verdade. Como descobrir a que tribo pertence um habitante da ilha que encontramos durante um passeio à montanha, fazendo-lhe duas perguntas a que ele só possa responder sim ou não?

Julgo que o leitor encontrou facilmente a solução. Basta escolher uma pergunta de que saiba a resposta (por exemplo: “Tenho duas orelhas?”) e fazê-la duas vezes seguidas. Um Verk responderá sim duas vezes, um Falk dirá sempre não, e um Altern dará respostas diferentes (e até ficaremos a saber em que fase da alternância está ele).

Podemos ser mais sofisticados e fazer-lhe duas vezes uma pergunta para a qual não sabemos a resposta: “O senhor é um Altern?”. Se ele responder duas vezes não é um Verk, duas vezes sim é um Falk e uma vez sim e outra não é um Altern. É bonito, não é?

Mas vamos mais longe:

E se só lhe pudermos fazer uma pergunta?
Agora, a pergunta a fazer exige uma sofisticação a que não é nada fácil aceder (pelo menos para mim…). Um leitor de Martin Gardner enviou-lhe a solução proposta por M. Zorn: “Se uma pessoa lhe fizer duas vezes seguidas a mesma pergunta, o senhor responderá falsamente não exatamente uma vez?”
A esta pergunta, o Verk responderá não, o Falk dirá sim, e o Altern não saberá responder.

Falemos agora de um clássico.
Estamos presos numa sala onde estão dois guardas, um Verk e um Falk. A sala tem duas portas, uma dá para a forca, outra para a liberdade. O diretor da cadeia informa-nos que temos direito a fazer uma única pergunta a um dos guardas e depois escolher uma porta. Que pergunta nos poderá garantir escapar da prisão?

Este problema é famoso e já quase toda gente o encontrou alguma vez. Como não sabemos qual dos guardas é o Verk, escolhemos um ao acaso e perguntamos-lhe: Se eu perguntasse ao teu colega qual era a porta da liberdade, qual das portas é que ele indicava? Facilmente se vê que, seja quem for o guarda a que nos dirigimos, ele vai indicar a porta da forca e portanto nós escolhemos a outra.
Passemos a um nível mais elevado.

A situação é a mesma mas o diretor informa-nos também que os guardas não se conhecem e portanto nenhum sabe a que tribo o outro pertence. Que pergunta escolher agora para conseguir sair da prisão?
Caro leitor, tem um mês para descobrir (e escapar…).

Respostas às questões do mês anterior.
A) Os possíveis valores de k pertencem ao intervalo compreendido entre o inverso do número de ouro (0,618034) e o número de ouro (1,618034), com a restrição de k não poder ser 1.
B) Os triângulos quase iguais serão retângulos se k for igual à raiz quadrada do número de ouro (1,272020) ou ao seu inverso (0,786151).



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Artigo de Opinião

"100 Problemas" por José Paulo Viana de outubro de 2012. Título: "Quando as mentiras são o Problema" 

"100 Problemas" por José Paulo Viana de setembro de 2012. Título: "Triângulos Quase Iguais" 


 
Publicado/editado: 17/10/2012