(U)Ma Temática Elementar por José C. Santos

Na antiga Grécia surgiu a ideia de, dado um número natural n, somar os seus divisores próprios (isto é, todos os divisores excepto o próprio n) e comparar esta soma com n. Quando a soma é inferior a n, diz-se que n é deficitário. É o caso de 4, por exemplo, pois os divisores próprios de 4 são 1 e 2 e 1 + 2 = 3, que é menor que 4. Quando a soma dos divisores próprios é superior a n, diz-se que n é abundante. Um exemplo é o número 12, pois os seus divisores próprios são 1, 2, 3, 4 e 6, cuja soma é 16, que é maior que 12. E quando a soma dos divisores próprios de n for igual a n, diz-se que n é um número perfeito. O exemplo mais pequeno de um número perfeito é o número 6. Acontece que os números perfeitos são bastante escassos. A seguir a 6, os mais pequenos são 28, 496 e 8192.

Como é que se podem encontrar mais números perfeitos? Euclides descobriu uma maneira, que descreveu nos Elementos: se p for tal que 2^p – 1 seja primo, então 2^{p – 1}×(2^p – 1) é um número perfeito. O número 6 é obtido por este processo, tomando p = 2, pois 2² – 1 é primo e 6 = 2×(2² – 1). E 28 também é obtido por este processo, desta vez com p = 3, pois 2³ – 1 é primo e 28 = 2²×(2³ – 1). E, de facto, 496 e 8192 também são obtidos por este processo, tomando p igual a 5 e a 7 respectivamente.

No século XVII, Fermat provou que só quando p for primo é que 2^p – 1 pode ser primo. Mas não basta que p seja primo, como se pode ver pelo exemplo p = 11, pois 2¹¹ – 1 é composto (é igual a 23×89). Os números primos da forma 2^p – 1 chamam-se primos de Mersenne, dos quais só se conhecem 48. Logo, só se conhecem 48 números perfeitos obtidos pelo processo descrito por Euclides.

É claro que o método de Euclides só dá origem a números perfeitos pares. Mas dará origem a todos? O matemático persa Alhazen conjecturou isto por volta do ano 1000, mas este resultado só foi provado por Euler no século XVIII.

E quanto a números perfeitos ímpares? Haverá ou não? Ninguém sabe! Mas sabe-se que caso um tal número exista, será fantasticamente grande, pois se for escrito em base 10 precisará de mais de 1500 algarismos e o seu maior factor primo será maior do que 100.000.000.