100 Problemas com José Paulo Viana

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Alguns problemas de pesagens são clássicos. Desconhece-se a sua origem, há deles registos muito antigos e vão aparecendo regularmente ao longo dos tempos. Em certos casos, a tradição oral foi mesmo o seu principal veículo de difusão.

O primeiro problema deste tipo que conheci é um desses. É verdadeiramente desafiador porque o enunciado é muito simples e, à primeira vista, não parece possível. Cá vai ele:

Temos nove moedas de ouro aparentemente iguais mas uma delas é falsa e, por isso, mais leve.

Que processo permite identificar sempre a moeda falsa, fazendo apenas duas pesagens numa balança de pratos?

Se nunca o resolveu, vale a pena tentá-lo antes de ler a solução no final desta secção.

Claro que, depois de conhecer este problema, passei a ser um seu divulgador entusiasta. Propu-lo a muita gente.

No entanto, o mais famoso de todos os problemas de pesagens é um outro, bastante mais difícil. A sua resolução exige bastante tempo a pensar e a fazer tentativas e não pode ser feito de cabeça (pelo menos, não conheço ninguém que o tivesse conseguido). É preciso usar lápis e várias folhas de papel. No final, bem organizada, a apresentação da solução ocupa uma página.

Ao longo dos anos, além de o ter encontrado em vários livros, houve bastante gente a desafiar-me com ele. Também eu o propus a bastantes pessoas. Houve mesmo uma altura em que o propunha a uma turma de alunos do secundário e garantia que, o primeiro que me apresentasse a solução e ma explicasse, estava automaticamente passado.

Nota: Não havia perigo. Se um aluno conseguisse chegar à solução (mesmo com ajuda) e me conseguisse explicar o processo, é porque sabia pensar suficientemente bem para conseguir ter aprovação a Matemática sem a minha ajuda.

Temos 12 bolas aparentemente iguais. Têm todas o mesmo peso, exceto uma delas que não sabemos se é mais leve ou mais pesada que as outras.

Como identificar seguramente a bola diferente fazendo apenas três pesagens numa balança de pratos?

Bem, este não vai ser resolvido aqui. Deixamo-lo como desafio aos leitores.

Solução do problema das nove moedas
Colocamos três moedas no primeiro prato e outras três no segundo. Se a balança desequilibrar, a moeda falsa está no grupo do prato que subiu. Se equilibrar, a falsa está no grupo que ficou de fora. Ou seja, com a primeira pesagem ficamos a saber o grupo de três a que pertence a falsa.

Para a segunda pesagem, vamos ao grupo atrás identificado e colocamos uma das moedas num prato e outra no segundo. Se a balança desequilibrar, a falsa está no prato que subiu, se equilibrar, a falsa é a que ficou de fora.