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Ah, os problemas!
José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público |
Há certos tipos de problemas que nos entusiasmam mais que outros.
Para mim, um deles é o que pede para determinarmos, sob certas condições, o número de caminhos entre dois pontos. Na sua versão clássica, os caminhos entre dois pontos terão de estar sobre uma malha quadrada. A partir dele, podemos generalizar, encontrar ligações inesperadas com outros campos da matemática (o triângulo de Pascal, por exemplo) e criar prolongamentos e variantes.
Hoje vamos precisamente ver uma das suas variantes, que resolveremos seguindo com um método curioso.
O João vive numa das pontas de um bairro em que as ruas têm a orientação Norte-Sul ou Este-Oeste.
Na outra ponta há uma sala de cinema. Quando o João quer ver um filme, segue sempre por um dos caminhos mais curtos e portanto só anda para Este e para Norte.
De quantas maneiras diferentes pode o João ir até ao cinema?
Há várias maneiras de chegar à solução mas a minha preferida é ir indicando, na grelha que representa o bairro, o número de caminhos que existem entre a casa do João e cada um dos cruzamentos.
Começamos pela rua Norte-Sul e pela rua Este-Oeste que saem da casa. Em cada um dos cruzamentos dessas ruas colocamos o número “1” porque só há uma maneira de lá chegar.
Depois, vamos avançando, cruzamento a cruzamento, de Sul para Norte e de Oeste para Este. Em cada interseção vemos quantos caminho vêm de Oeste e quantos vêm de Sul e o número que aí escrevemos é a soma dos números dos dois cruzamentos anteriores. Ou seja, num certo cruzamento colocamos o resultado da soma do número imediatamente à esquerda com o que está imediatamente abaixo.
No final, temos a indicação de quantos caminhos há até cada cruzamento e, portanto, quantos há até ao cinema.