(U)Ma Temática Elementar por José C. Santos
Eixos de Opinião novembro de 2014
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José Carlos Santos - Departamento de Matemática da FCUP Dia 21 de cada mês
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Artigo José Carlos Santos em (U)Ma Temática Elementar
Artigo de novembro de 2014
Clube de Matemática SPM
Facebook Clube SPMÉ frequente que se usem figuras para tornar claras certas relações algébricas. Considere-se, por exemplo, a igualdade (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. A figura abaixo torna-a natural.
É talvez pouco conhecido que este uso de construções geométricas tem uma longa história e que muitas vezes estas construções foram usadas não apenas para ilustrar as relações algébricas em questão mas para as justificar. Considere-se, por exemplo a distributividade da multiplicação relativamente à adição, ou seja, o facto de o resultado de se multiplicar um número pela soma de vários números ser a soma dos produtos do primeiro número por cada um dos restantes. Este enunciado é a primeira proposição do segundo livro dos Elementos de Euclides. Só que Euclides põe (e demonstra) este enunciado de uma maneira geométrica: se um rectângulo tem um lado de comprimento a e se é divido em vários rectângulos por linhas paralelas ao lado de comprimento a, então a sua área é a soma das áreas dos vários sub-rectângulos; veja-se a figura abaixo. O lado horizontal do rectângulo ficou dividido em segmentos de comprimentos b, b’ e b’’ e a proposição em questão afirma que a área do rectângulo grande (ou seja, a(b + b’ + b’’)) é igual à soma das áreas dos rectângulos pequenos (isto é, é igual a ab + ab’ + ab’’).
Considere-se agora este problema: provar que, para cada natural n, a soma 1 + 2 + 3 + … + n é igual a (n2+ n)/2 (ou, o que vem dar ao mesmo, a (n + 1)n/2). Este é um problema clássico de indução matemática e vem como exemplo ou como exercício em qualquer texto sobre esse tópico. Mas pode ser resolvido sem se recorrer à indução. Considere-se um tabuleiro quadrado dividido em n2 quadrados idênticos, como na figura abaixo. Desses quadrados, considerem-se aqueles que estão numa das diagonais ou abaixo desta (representados a cinzento na figura). De quantos quadrados estamos a falar? Obviamente, há 1 + 2 + 3 + … + n tais quadrados. E, naturalmente, se se considerarem os quadrados que estão na diagonal ou acima desta, o seu número também é 1 + 2 + 3 + … + n. E se se juntarem todos estes quadrados? Então obtemos todos os quadrados do tabuleiro, mas é preciso ver que os quadrados da diagonal foram contados duas vezes. Está então provado que
2(1+ 2 + 3 + … + n) = n2+ n,
o que é equivalente ao que se queria provar.
Um argumento ligeiramente diferente e mais geométrico permite chegar à mesma conclusão. Consiste em pensar em termos de áreas e não de contagem. A região a cinzento da figura acima é formada por metade do quadradro grande juntamente com n metades de quadrados pequenos. Logo, se se tomar como unidade de área a área de cada um dos quadrados pequenos, a área da figura cinzenta é, por um lado, 1 + 2 + 3 + … + n e, por outro lado n2/2 (metade da área do quadrado grande) + n/2 (a soma das áreas de n metades de quadrados pequenos) e este último número é (n2 + n)/2.
Para terminar, vejamos agora como é que, por volta do ano 1000, o matemático árabe Al-Karaji provou que a soma dos dez primeiros cubos é igual ao quadrado da soma dos dez primeiros números, ou seja, que
13 + 23 + … + 103 = (1 + 2 + … + 10)2.
Para tal, Al-Karaji considerou a figura abaixo. O quadrilátero ABCD é um quadrado de lado 1 + 2 + … + 10, enquanto que o quadrilátero AB’C’D’ é um quadrado de lado 1 + 2 + … + 9. Além disso, o quadrado do canto inferior esquerdo tem lado 1 (é claro que a figura não está à escala!) e a sua área vai ser a nossa unidade de área. Então a área de ABCD é (1 + 2 + … + 10)2 e, por outro lado é a soma das áreas de duas figuras:
1. o quadrado AB’C’D’, que tem área (1 + 2 + … + 9)2;
2. o polígono DCBB’C’D’, que consiste num quadrado de lado 10 e em dois rectângulos de lados 1 + 2 + … + 9 (= 10×9/2, como vimos) e 10.
Logo, a área do polígono DCBB’C’D’ é 102 + 2×(10×9/2) ×10 = 102 + 102×9 = 103. Com tudo isto, deduz-se que (1 + 2 + … + 10)2 = (1 + 2 + … + 9)2 + 103. Agora pode-se usar o mesmo argumento, aplicando-o desta vez aos quadrados AB’C’D’ e AB’’C’’D’’, onde este último quadrado tem lado 1 + 2 + … + 8. Resulta daí que (1 + 2 + … + 9)2 = (1 + 2 + … + 8)2 + 93. Prosseguindo assim, conclui-se que, de facto, 13 + 23 + … + 103 = (1 + 2 + … + 10)2.
Naturalmente, nada do que foi feito é específico do número 10. O mesmo argumento, que mistura álgebra e geometria elementares, prova que a soma dos n primeiros cubos é o quadrado da soma dos n primeiros números.