Diagonais por Rui Gonçalves - Fórmula Mágica da Matemática
Eixos de opinião de outubro de 2018
Título: Fórmula Mágica da Matemática eiπ + 1 = 0
Olá a todos e bem-vindos às diagonais,
Este mês vamos falar da fórmula mágica da matemática,
eiπ + 1 = 0
As 5 constantes mais importantes da matemática reunidas numa única fórmula. Porque é que é verdadeira?
Podia-se responder, bem, depois de um curso de 2 anos em cálculo, ela é evidente. E se só tivermos 30min para o mostrar? Se formos hábeis e usarmos um pouco de geometria e equações diferenciais (ED)…
A ideia é resolver a ED,
dz/dt=iz
Onde z é uma função complexa e com a condição inicial z(0)=1. No início de qualquer curso em ED aprendemos que a solução desta simples equação é ,
z(t)=eit
Recordando concluímos que esta função complexa não é mais do que o número complexo cos(t)+isen(t). Sabemos que multiplicar complexos na forma polar envolve a soma de ângulos e multiplicar por i = e(iπ/2) é o mesmo que imprimir uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário. Assim, o vetor iz(t) tangente à solução em qualquer ponto z(t) é sempre normal ao vetor que vai do pólo a z(t) e tem comprimento 1.
Dessa forma a solução está sempre na circunferência de raio 1 com centro no pólo e move-se aí com velocidade angular de 1 radiano por segundo (um Radiano (1 rad)) é o ângulo definido num círculo por um arco de circunferência com o mesmo comprimento que o raio do referido círculo.
Dado que a circunferência tem um perímetro de 2π então t=π é metade da circunferência pelo que o resultado é -1. Conclui-se então que eiπ = - 1 .
Este texto é uma adaptação de um texto do professor Ian Stewart do livro Cabinet of Mathematical curiosities, Profile Books, 2008.